"Central limit theorem" untuk jumlah tertimbang dari variabel acak berkorelasi

Saya membaca makalah yang mengklaim itu

{\hat{X}}_{k} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j = 0}^{N - 1} X_{j} e^{- saya 2 π k j / N},

$\hat{X}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}X_je^{-i2\pi kj/N},$ (yaitu Discrete Fourier Transform , DFT) oleh CLT cenderung ke variabel acak gaussian (kompleks). Namun, saya tahu ini tidak benar secara umum. Setelah membaca argumen (keliru) ini, saya mencari di internet dan menemukan makalah 2010 ini oleh Peligrad & Wu , di mana mereka membuktikan bahwa untuk beberapa proses stasioner, orang dapat menemukan "teorema CLT".

Pertanyaan saya adalah: apakah Anda memiliki referensi lain yang mencoba mengatasi masalah menemukan distribusi terbatas DFT dari urutan indeks yang diberikan (baik dengan simulasi atau teori)? Saya terutama tertarik pada tingkat konvergensi (yaitu seberapa cepat DFT bertemu) memberikan beberapa struktur kovarian untuk dalam konteks analisis deret waktu, atau derivasi / aplikasi ke deret non-stasioner. $X_j$

time-series central-limit-theorem fourier-transform

— Néstor
sumber

Dalam David Brillinger, "Analisis dan Analisis Data Rangkaian Waktu", 1975 Holt, Rinehart, dan Winston Penerbit halaman 94 Theroem 4.4.1 menyatakan dalam kondisi tertentu transformasi fourier diskrit untuk seri bernilai vektor pada frekuensi λ (N) secara independen tidak bergejala. dimensi normal kompleks kompleks dengan vektor rata-rata 0 di mana λ (N) = 2π s (N) / N. Ini kebetulan merupakan teorema yang sangat penting dalam pengembangan perkiraan untuk kerapatan spektral deret waktu stasioner. $_j$ $_j$ $_j$

— Michael R. Chernick
sumber

Apa saja kondisinya? Dan bagaimana teorema-nya berbeda dari kertas yang saya kutip?

— Néstor

Ini mungkin sangat mirip dengan hasil di kertas yang Anda kutip. Saya mencarinya karena kedengarannya seperti hasil yang saya pelajari di masa pascasarjana. Saya tidak akan membacakan asumsi. Ini melibatkan kendala pada fungsi autokorelasi untuk Xj dan λjs tidak menjumlahkan berpasangan dengan kelipatan 2π.

— Michael R. Chernick