Bukti saat itu menghasilkan fungsi yang secara unik menentukan distribusi probabilitas

Teks et al menyatakan teorema ini "Biarkan dan menunjukkan fungsi penghasil momen dari variabel acak X dan Y, masing-masing. Jika kedua fungsi penghasil momen ada dan untuk semua nilai t, maka X dan Y memiliki distribusi probabilitas yang sama. " tanpa bukti yang mengatakan itu di luar ruang lingkup teks. Scheaffer Young juga memiliki teorema yang sama tanpa bukti. Saya tidak memiliki salinan Casella, tetapi pencarian buku Google sepertinya tidak menemukan teorema di dalamnya.m y ( t ) m x ( t ) = m y ( t $m_x(t)$$m_y(t)$$m_x(t) = m_y(t)$

Teks Gut tampaknya memiliki garis besar bukti , tetapi tidak membuat referensi ke "hasil yang terkenal" dan juga membutuhkan mengetahui hasil lain yang buktinya juga tidak disediakan.

Adakah yang tahu siapa yang awalnya membuktikan ini dan jika buktinya tersedia online di mana saja? Kalau tidak, bagaimana orang akan mengisi rincian bukti ini?

Jika saya ditanya tidak, ini bukan pertanyaan pekerjaan rumah, tapi saya bisa membayangkan ini mungkin pekerjaan rumah seseorang. Saya mengambil urutan kursus berdasarkan teks Wackerly dan saya telah bertanya-tanya tentang bukti ini selama beberapa waktu. Jadi saya pikir itu hanya waktu untuk bertanya.

Bukti umum ini dapat ditemukan di Feller (Pengantar Teori Probabilitas dan Penerapannya, Vol. 2) . Ini adalah masalah inversi yang melibatkan teori Transformasi Laplace. Apakah Anda memperhatikan bahwa mgf memiliki kemiripan yang mencolok dengan Transformasi Laplace? Untuk menggunakan Transformasi Laplace Anda dapat melihat Widder (Calcus Vol I) .

Bukti kasus khusus:

Misalkan X dan Y adalah varaibles acak, keduanya hanya mengambil nilai yang mungkin dalam { }. Selanjutnya, anggaplah bahwa X dan Y memiliki MGF sama untuk semua t: n Σ x = 0 e t x f X ( x ) = n Σ y = 0 e t y f Y ( y ) Untuk mempermudah, kami akan membiarkan s = e t dan kita akan mendefinisikan c i = $0, 1, 2,\dots, n$

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$$ $s = e^t$ untuk i = 0 , 1 , … , n .$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$$i = 0, 1,\dots,n$

Sekarang ⇒ n Σ x = 0 s x f X ( x ) - n Σ y = 0 s y f Y ( y ) = 0 ⇒ n

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$$ ⇒ n ∑ x = 0 sx[fX(x)-fY(x)]=0⇒ n ∑ x = 0 sxcx=0 $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$$ $$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$$ Di atas hanyalah polinomial dalam s dengan koefisien c , 0 , c 1 , … , c n . Satu-satunya cara bisa menjadi nol untuk semua nilai s adalah jika c 0 = c 1 = ⋯ = c n = 0. Jadi, kita memiliki 0 = c i = f X ( i ) - f Y ( i ) untuk i = 0 , 1 , $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$$ $c_0, c_1,\dots,c_n$$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$ .$i=0, 1,\dots,n$

$f_X(i)=f_Y(i)$$i=0,1,\dots,n$

$X$$Y$$X$$Y$

Teorema yang Anda diskusikan adalah hasil dasar dalam teori probabilitas / ukuran. Bukti-bukti akan lebih mungkin ditemukan dalam buku-buku tentang probabilitas atau teori statistik. Saya menemukan hasil analog untuk fungsi karakteristik yang diberikan dalam Hoel Port and Stone hal 205-208

Tucker hal. 51-53

dan Chung pp 151-155 Ini adalah Edisi Ketiga. Saya memiliki edisi kedua dan mengacu pada nomor halaman dalam edisi kedua yang diterbitkan pada tahun 1974.

Bukti untuk mgf yang saya temukan lebih sulit ditemukan tetapi Anda dapat menemukannya dalam buku Billingley "Probability and Measure" hlm. 342-345. Pada halaman 342 Teorema 30.1 memberikan teorema yang menjawab masalah saat itu. Pada halaman 345 Billingsley menyatakan hasil bahwa jika ukuran probabilitas memiliki fungsi pembangkit momen M (s) yang didefinisikan pada interval sekitar 0 maka hipotesis untuk Teorema 30.1 terpenuhi dan karenanya pengukuran ditentukan oleh momen-momennya. Tapi momen ini ditentukan oleh M (s). Oleh karena itu ukuran ditentukan oleh fungsi pembangkit momennya jika M (s) ada di lingkungan 0. Jadi logika ini bersama dengan bukti yang dia berikan untuk Theorem30.1 membuktikan hasilnya. Billingsley juga berkomentar bahwa solusi untuk latihan 26.

$X$$M_X(t)=Ee^{tX}$

$\delta>0$$M_X(t) = M_Y(t) < \infty$$t \in (-\delta,\delta)$$F_X(t) = F_Y(t)$$t \in \mathbb{R}$

Untuk membuktikan bahwa fungsi pembangkit momen menentukan distribusi, setidaknya ada dua pendekatan:

• $M_X$$(-\delta,\delta)$$X$$F_X$$(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$$M_X$

• $M_X$$(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$$M_X(z)=Ee^{zX}$$M_X(it)=\varphi_X(t)$$t\in\mathbb{R}$$\varphi_X$$F_X$Curtiss, JH Ann. Matematika Statistik 13: 430-433 dan referensi di dalamnya.

Di tingkat sarjana, hampir setiap buku teks bekerja dengan fungsi menghasilkan momen dan menyatakan teorema di atas tanpa membuktikannya. Masuk akal, karena buktinya membutuhkan matematika yang jauh lebih maju daripada tingkat sarjana memungkinkan.

$\varphi_X(t)=Ee^{itX}$