Apa intuisi di balik perbedaan urutan kedua?

Kadang-kadang sebuah seri waktu mungkin perlu dibedakan untuk dibuat diam. Namun saya tidak mengerti bagaimana perbedaan urutan kedua dapat membantu membuatnya stasioner ketika perbedaan urutan pertama tidak cukup.

Bisakah Anda memberikan penjelasan intuitif untuk perbedaan urutan kedua dan kasus di mana diperlukan?

Perbedaan urutan kedua adalah analogi diskrit dengan turunan kedua. Untuk deret waktu diskrit, perbedaan orde kedua mewakili kelengkungan deret pada titik waktu tertentu. Jika perbedaan urutan kedua adalah positif maka deret waktu melengkung ke atas pada waktu itu, dan jika negatif maka deret waktu melengkung ke bawah pada waktu itu.

Perbedaan urutan kedua dari rangkaian waktu diskrit pada waktu adalah:$\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$$t$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Ini positif jika dan negatif jika (dan nol jika ). Jika ada lebih banyak perubahan ke atas (kurang ke bawah) dalam seri saat ini daripada di waktu sebelumnya, ada kelengkungan positif, dan jika ada lebih sedikit perubahan ke atas (lebih ke bawah) dalam seri saat ini daripada di waktu sebelumnya, ada kelengkungan negatif.$\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$

Dua pemikiran:

Rekursi . Setelah perbedaan urutan pertama, apa yang Anda miliki? Rangkaian waktu lain yang, dalam kondisi yang tepat, lebih dekat dengan stasioner. Jika tidak cukup dekat, Anda sekarang memiliki deret waktu yang tidak stasioner dan Anda ingin memindahkannya lebih dekat ke stasioner, sehingga Anda mengambil perbedaan urutan pertama. (Yang merupakan perbedaan urutan kedua dari deret waktu asli.) Jika deret waktu berbeda tidak cukup dekat dengan stasioner, Anda ... [berulang] ...

Derivatif . Bayangkan Anda merekam lokasi GPS mobil Anda setiap 10 menit. Jika saya bisa mengambil titik-titik GPS dari dua hari dan menunjukkannya kepada Anda dan Anda tidak bisa mengetahui pada hari apa itu mungkin - mungkin bahkan tidak dapat benar-benar mengetahui satu hari dari hari lain - data lokasi Anda akan menjadi Perlengkapan tulis.

Tapi katakan Anda mengendarai mobil ke kota terdekat yang berbeda setiap hari selama dua minggu? Anda dapat dengan mudah membedakan antara hari-hari - bahkan mungkin tahu persis hari apa yang saya tunjukkan kepada Anda. Tidak diam.

Mungkin jika Anda malah mencatat jarak Anda dari rumah setiap 10 menit, itu akan membuat data Anda lebih stasioner. Jarak tidak termasuk arah, jadi mungkin sekarang data Anda untuk dua minggu itu akan terlihat sama? (Lokasi rata-rata adalah rumah, misalnya.)

Sebaliknya, katakanlah bahwa Anda memilih untuk berkendara dari New York langsung ke Los Angeles. Trik jarak tidak akan berhasil, karena jarak Anda akan memberi Anda perbedaan yang cukup jelas antara hari.

Tetapi Anda kemudian dapat memilih untuk merekam kecepatan Anda setiap 10 menit. Mengemudi lintas negara pada sistem antarnegara bagian, hari-hari Anda akan cenderung terlihat sangat mirip, bijaksana. Artinya, kecepatan Anda akan diam.

Katakanlah, lokasi pada waktu 0 adalah , dan 10 dan 20 menit kemudian masing-masing adalah dan . Jarak yang ditempuh dalam setiap interval 10 menit adalah dan , yang bila dibagi dengan interval waktu menghasilkan kecepatan (satuan yang sama dengan kecepatan tetapi dengan arah). Diferensial kedua, adalah akselerasi. Jika kecepatannya diam, dan kendaraan terus bergerak, perbedaan lokasi juga akan tetap.$L_0$$L_1$$L_2$$D_1 = L_1 - L_0$$D_2 = L_2 - L_1$$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$