Terikat pada perbedaan variabel acak berkorelasi

Diberikan dua variabel acak berkorelasi tinggi $X$ dan $Y$ , saya ingin mengikat probabilitas bahwa perbedaan $|X - Y|$ melebihi jumlah tertentu:

P (| X - Y | > K) < δ

$P( |X - Y| > K) < \delta$

Asumsikan untuk kesederhanaan bahwa:

Koefisien korelasi dikenal sebagai "tinggi", katakanlah: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$
$X,Y$ adalah nol rata-rata: $\mu_x = \mu_y = 0$
$-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (atau $0 \leq x_i, y_i \leq 1$ jika itu lebih mudah)
(Jika itu membuat segalanya lebih mudah, katakanlah $X,Y$ memiliki varians yang identik: $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$ )

Tidak yakin seberapa layak untuk mendapatkan ikatan pada perbedaan yang diberikan hanya informasi di atas (saya pasti tidak bisa sampai ke mana pun). Solusi khusus (jika ada), pembatasan tambahan wajib untuk memaksakan distribusi, atau hanya saran tentang pendekatan akan menjadi besar.

correlation mathematical-statistics bounds

— Avanti89
sumber

Bahkan tanpa asumsi penyederhanaan itu, ikatan dapat diperoleh dengan menggabungkan beberapa alat biasa:

The varians dari selisih dua variabel berkorelasi . Hal ini memungkinkan kita untuk mengubah masalah dua variabel menjadi masalah univariat.
Ketimpangan Chebyshev . Ini menempatkan batas pada probabilitas melebihi nilai yang diberikan.

Dalam beberapa detail:

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot c o v (X, Y)

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$

c o v (X, Y) = σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X Y}

$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$

σ_{X - Y}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}

$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$

$Z$

Pr (| Z - μ | \geq k σ) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Kemudian (dan menggunakan itu : $\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

Pr (| X - Y - μ_{X} + μ_{Y} | \geq k \cdot \sqrt{σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y}}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$

Kita dapat menggunakan asumsi penyederhanaan yang diusulkan untuk mendapatkan ekspresi yang lebih sederhana. Kapan:

ρ_{X, Y} = c o v a r (X, Y) / σ_{X} σ_{Y} = 1 - ϵ

$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$

μ_{x} = μ_{y} = 0

$\mu_x = \mu_y = 0$

σ_{X}^{2} = σ_{Y}^{2} = σ^{2}

$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$

Kemudian:

σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} - 2 \cdot σ_{X} \cdot σ_{Y} \cdot ρ_{X, Y} = 2 \cdot σ^{2} \cdot (1 - (1 - ϵ)) = 2 σ^{2} ϵ

$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$

Dan oleh karena itu:

Pr (| X - Y | \geq k \cdot σ \sqrt{2 ϵ}) \leq \frac{1}{k^{2}}

$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$

Menariknya, hasil ini berlaku bahkan jika tidak kecil, dan jika kondisi untuk korelasi berubah dari ke , hasilnya tidak berubah (karena itu sudah merupakan ketimpangan). $\epsilon$ $=1-\epsilon$ $\geq 1-\epsilon$

— Pere
sumber