Ekspektasi bersyarat dari variabel acak seragam yang diberikan statistik pesanan

Asumsikan X =$(X_1, ..., X_n)$ ~ $U(\theta, 2\theta)$dimana $\theta \in \Bbb{R}^+$.

Bagaimana cara menghitung harapan bersyarat $E[X_1|X_{(1)},X_{(n)}]$dimana $X_{(1)}$ dan $X_{(n)}$ Apakah statistik pesanan terkecil dan terbesar masing-masing?

Pikiran pertama saya adalah bahwa karena statistik pesanan membatasi rentang, itu sederhana $(X_{(1)}+X_{(n)})/2$, tetapi saya tidak yakin apakah ini benar!

Pertimbangkan kasus sampel iid $X_1, X_2, \ldots, X_n$ dari Seragam$(0,1)$distribusi. Penskalaan variabel-variabel ini dengan$\theta$ dan menerjemahkannya dengan $\theta$ memberi mereka Seragam$(\theta, 2\theta)$distribusi. Segala sesuatu yang relevan dengan masalah ini berubah dengan cara yang sama: statistik pesanan dan harapan bersyarat. Dengan demikian, jawaban yang diperoleh dalam kasus khusus ini akan berlaku secara umum.

Membiarkan $1\lt k\lt n.$ Dengan meniru alasan di https://stats.stackexchange.com/a/225990/919 (atau di tempat lain), temukan bahwa distribusi gabungan dari$(X_{(1)}, X_{(k)}, X_{(n)})$ memiliki fungsi kepadatan

$$f_{k;n}(x,y,z) = \mathcal{I}(0\le x\le y\le z \le 1) (y-x)^{k-2}(z-y)^{n-k-1}.$$

Pemasangan $(x,z)$ dan melihat ini sebagai fungsi dari $y,$ ini dikenali sebagai Beta$(k-1, n-k)$ distribusi yang telah diskalakan dan diterjemahkan ke dalam interval $[x,z].$ Jadi, faktor skala harus $z-x$ dan terjemahan dibutuhkan $0$ untuk $x.$

Karena harapan Beta$(k-1,n-k)$distribusi adalah$(k-1)/(n-1),$ kami menemukan bahwa harapan bersyarat dari $X_{(k)}$harus menjadi skala, harapan yang diterjemahkan; yaitu,

$$\mathbb{E}\left(X_{(k)}\mid X_{(1)}, X_{(n)}\right) = X_{(1)} + \left(X_{(n)}-X_{(1)}\right) \frac{k-1}{n-1}.$$

Kasus-kasus $k=1$ dan $k=n$ sepele: harapan bersyarat mereka, masing-masing, $X_{(1)}$ dan $X_{(k)}.$

Mari temukan ekspektasi jumlah semua statistik pesanan:

$$\mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^n X_{(k)}\right) = X_{(1)} + \sum_{k=2}^{n-1} \left(X_{(1)} + \left(X_{(n)}-X_{(1)}\right) \frac{k-1}{n-1}\right) + X_{(n)}.$$

Aljabar turun untuk mendapatkan jumlah

$$\sum_{k=2}^{n-1}(k-1) = (n-1)(n-2)/2.$$

Jadi

$$\eqalign{ \mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^n X_{(k)}\right) &= (n-1)X_{(1)} + \left(X_{(n)}-X_{(1)}\right) \frac{(n-1)(n-2)}{2(n-1)} + X_{(n)} \\ &= \frac{n}{2}\left(X_{(n)}+X_{(1)}\right). }$$

Akhirnya, karena $X_i$ didistribusikan secara identik, mereka semua memiliki harapan yang sama, dari mana

$$\eqalign{n\mathbb{E}\left(X_1\mid X_{(1)}, X_{(n)}\right) &= \mathbb{E}\left(X_1\right) + \mathbb{E}\left(X_2\right) + \cdots + \mathbb{E}\left(X_n\right)\\ &= \mathbb{E}\left(X_{(1)}\right) + \mathbb{E}\left(X_{(2)}\right) + \cdots + \mathbb{E}\left(X_{(n)}\right) \\ &= \frac{n}{2}\left(X_{(n)}+X_{(1)}\right), }$$

dengan solusi unik

$$\mathbb{E}\left(X_1\mid X_{(1)}, X_{(n)}\right) = \left(X_{(n)}+X_{(1)}\right)/2.$$

---

It seems worth remarking that this result is not a sole consequence of the symmetry of the uniform distribution: it is particular to the uniform family of distributions. For some intuition, consider data drawn from a Beta$(a,a)$ distribution with $a \lt 1.$ This distribution's probabilities are concentrated near $0$ and $1$ (its density has a U or "bathtub" shape). When $X_{(n)}\lt 1/2,$ we can be sure most of the data are piled up close to $X_{(1)}$ and therefore will tend to have expectations less than the midpoint $(X_{(1)}+X_{(n)})/2;$ and when $X_{(1)}\gt 1/2,$ the opposite happens and most of the data are likely piled up close to $X_{(n)}.$

The following is not a proof but a verification of the desired result once you know that $(X_{(1)},X_{(n)})$ is a complete statistic for $\theta$ :

Joint pdf of $X_1,X_2,\ldots,X_n$ is

$$\begin{align} f_{\theta}(x_1,\ldots,x_n)&=\frac{1}{\theta^n}\mathbf1_{\theta<x_{(1)},x_{(n)}<2\theta} \\&=\frac{1}{\theta^n}\mathbf1_{\frac{1}{2}x_{(n)}<\theta<x_{(1)}}\quad,\,\theta\in\mathbb R^+ \end{align}$$

So $T=(X_{(1)},X_{(n)})$ is a sufficient statistic for $\theta$. It can be shown that $T$ is also a complete statistic by proceeding along these lines.

Then by Lehmann-Scheffe theorem, $E\,[X_1\mid T]$ is the UMVUE of $E(X_1)=\frac{3\theta}{2}$.

Now, $\frac{1}{\theta}(X_i-\theta)\stackrel{\text{i.i.d}}\sim \mathsf U(0,1)$, so that $\frac{1}{\theta}(X_{(n)}-\theta)\sim\mathsf{Beta}(n,1)$ and $\frac{1}{\theta}(X_{(1)}-\theta)\sim \mathsf{Beta}(1,n)$.

Therefore, $E(X_{(n)})=\frac{n\theta}{n+1}+\theta=\frac{(2n+1)\theta}{n+1}$ and $E(X_{(1)})=\frac{\theta}{n+1}+\theta=\frac{(n+2)\theta}{n+1}$.

Hence,

$$E\left[\frac{1}{2}(X_{(1)}+X_{(n)})\right]=\frac{1}{2(n+1)}\left((n+2)\theta+(2n+1)\theta\right)=\frac{3\theta}{2}$$

This proves that $\frac{1}{2}(X_{(1)}+X_{(n)})$ is the UMVUE of $\frac{3\theta}{2}$ by Lehmann-Scheffe.

Since UMVUE is unique whenever it exists, it verifies the claim that $E\,[X_1\mid T]=\frac{1}{2}(X_{(1)}+X_{(n)})$.