Jika 'B lebih mungkin diberikan A', maka 'A lebih mungkin diberikan B'


9

Saya mencoba untuk mendapatkan intuisi yang lebih jelas: "Jika membuat lebih mungkin maka membuat lebih mungkin" yaituABBA

Misalkan menunjukkan ukuran ruang di mana dan beradan(S)AB

Klaim: soP(B|A)>P(B)n(AB)/n(A)>n(B)/n(S)

jadin(AB)/n(B)>n(A)/n(S)

yang merupakanP(A|B)>P(A)

Saya mengerti matematika, tetapi mengapa ini masuk akal?


1
Saya mengedit pertanyaan untuk menghapus kata 'make'. Pertanyaan ini terdengar agak seperti pertanyaan-pertanyaan ambigu di Facebook, pertanyaan-pertanyaan di mana Anda harus menyelesaikan sejumlah aljabar dengan gambar dan orang-orang mendapatkan jawaban yang sangat berbeda karena interpretasi yang berbeda dari pertanyaan itu. Itu bukan sesuatu yang kita inginkan di sini. (alternatifnya adalah menutup pertanyaan karena tidak jelas dan ada OP yang mengubahnya).
Sextus Empiricus

Jawaban:


10

Dengan intuisi, contoh-contoh dunia nyata seperti yang diberikan Peter Flom sangat membantu bagi sebagian orang. Hal lain yang biasanya membantu orang adalah gambar. Jadi, untuk menutupi sebagian besar pangkalan, mari kita memiliki beberapa gambar.

Diagram probabilitas bersyarat menunjukkan independensi Diagram probabilitas bersyarat menunjukkan ketergantungan

Apa yang kita miliki di sini adalah dua diagram yang sangat mendasar yang menunjukkan probabilitas. Yang pertama menunjukkan dua predikat independen yang saya sebut Merah dan Biasa. Jelas bahwa mereka independen karena garis berbaris. Proporsi area polos yang berwarna merah sama dengan proporsi area bergaris yang berwarna merah dan juga sama dengan proporsi total yang berwarna merah.

Pada gambar kedua, kami memiliki distribusi non-independen. Secara khusus, kami telah memperluas beberapa area merah polos ke area bergaris tanpa mengubah fakta bahwa itu merah. Maka jelas, menjadi merah membuat menjadi lebih mungkin.

Sementara itu, lihatlah sisi polos gambar itu. Jelas proporsi wilayah polos yang berwarna merah lebih besar daripada proporsi keseluruhan gambar yang berwarna merah. Itu karena daerah dataran telah diberikan banyak daerah lebih banyak dan semuanya berwarna merah.

Jadi, merah membuat polos lebih mungkin, dan polos membuat merah lebih mungkin.

Apa yang sebenarnya terjadi di sini? A adalah bukti untuk B (yaitu, A membuat B lebih mungkin) ketika area yang mengandung A dan B lebih besar dari yang diperkirakan jika mereka independen. Karena persimpangan antara A dan B sama dengan persimpangan antara B dan A, itu juga menyiratkan bahwa B adalah bukti untuk A.

Satu catatan kehati-hatian: meskipun argumen di atas tampak sangat simetris, mungkin tidak demikian halnya bahwa kekuatan bukti di kedua arah sama. Sebagai contoh, perhatikan gambar ketiga ini. Di sini hal yang sama telah terjadi: merah polos telah memakan wilayah yang sebelumnya milik garis merah. Bahkan, itu telah menyelesaikan pekerjaannya!Diagram probabilitas bersyarat menunjukkan ketergantungan ekstrim

Perhatikan bahwa titik merah langsung menjamin kejelasan karena tidak ada daerah merah bergaris yang tersisa. Namun titik yang polos belum menjamin kemerahan, karena masih ada daerah hijau yang tersisa. Namun demikian, titik di dalam kotak yang polos meningkatkan kemungkinannya merah, dan titik yang merah meningkatkan peluang bahwa itu jelas. Kedua arah menyiratkan lebih mungkin, tidak dengan jumlah yang sama.


Saya suka gambar :) Namun sepertinya gambar atau penjelasannya terbalik: In the second image, we have non-independent distributions. Specifically, we have moved some of the stripy red area into the plain area without changing the fact that it is red. Clearly then, being red makes being plain more likely. - gambar kedua Anda telah mendapatkan area polos daripada yang pertama, jadi dari gambar 1 ke 2 kami telah memindahkan area polos ke area bergaris.
Pod

Jadi, jika saya memiliki diagram venn dengan beberapa area persimpangan A, B yang umum dan yang saya lakukan adalah menambah area persimpangan, saya secara otomatis menambahkan lebih banyak A, B untuk seluruh ruang (tanpa membuat ruang lebih besar) dan mengubah / menambah n (A ) / n (S) dan n (B) / n (S) sebagai konsekuensinya. Baik? Lebih banyak komentar?
Rahul Deora

4
Merah vs hijau adalah kombinasi bermasalah untuk orang buta warna.
Richard Hardy

@Pod saya pikir itu adalah ambiguitas bahasa alami yang Anda gambarkan. Baca "kami telah memindahkan beberapa area merah bergaris ke area polos" sebagai "kami telah memindahkan beberapa area yang sebelumnya dikenal sebagai stripy red dan mengubahnya menjadi area polos". Saya pikir Anda [salah-] membacanya sebagai "kami telah memperluas beberapa area merah bergaris ke area yang sebelumnya dikenal sebagai dataran" .
Peter - Reinstate Monica

20

Saya pikir cara matematika lain untuk menjelaskannya bisa membantu. Pertimbangkan klaim dalam konteks aturan Bayes:

Klaim: jika makaP(B|A)>P(B)P(A|B)>P(A)

Aturan Bayes:

P(AB)=P(BA)P(A)P(B)

dengan asumsi bukan nol. JadiP(B)

P(A|B)P(A)=P(B|A)P(B)

Jika , maka .P(B|A)>P(B)P(B|A)P(B)>1

Kemudian , dan begitu .P(A|B)P(A)>1P(A|B)>P(A)

Ini membuktikan klaim dan kesimpulan yang bahkan lebih kuat - bahwa proporsi masing-masing kemungkinan harus sama.


Saya menyukai ini karena menunjukkan tautan yang lebih kuat "jika A membuat B x persen lebih mungkin, maka B membuat A x persen lebih mungkin"
probabilityislogic

@probabilityislogic Frasa seperti itu memperkenalkan ambiguitas. Jika probabilitas sebelumnya adalah 10%, dan posterior adalah 15%, apakah probabilitas meningkat 5% (15% minus 10%) atau 50% (15% dibagi 10%)?
Akumulasi

Bukti yang lebih sederhana: Jika , kemudian menggunakan aturan itu dan Bayes, kita memilikiP(B|A)>P(B)P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)>P(B)P(A)/P(B)=P(A)
Ray

12

Yah, saya tidak suka kata "membuat" dalam pertanyaan. Itu menyiratkan semacam kausalitas dan kausalitas biasanya tidak terbalik.

Tetapi Anda meminta intuisi. Jadi, saya akan memikirkan beberapa contoh, karena itu sepertinya memicu intuisi. Pilih yang Anda suka:

Jika seseorang adalah seorang wanita, kemungkinan besar orang tersebut memilih Demokrat.
Jika seseorang memilih seorang Demokrat, kemungkinan besar orang itu adalah seorang wanita.

Jika seorang pria adalah pusat bola basket profesional, kemungkinan besar dia lebih dari 2 meter.
Jika seorang pria lebih dari 2 meter, kemungkinan besar dia adalah pusat bola basket.

Jika lebih dari 40 derajat Celcius, kemungkinan besar akan terjadi pemadaman.
Jika ada pemadaman listrik, kemungkinannya lebih dari 40 derajat.

Dan seterusnya.


4
Itu bukan tentang probabilitas. Itu sekitar 1 banding 1 hubungan.
Peter Flom

6
@jww Bayangkan pernyataan "jika hujan, jalannya basah" (dan anggap itu implikasi yang valid untuk saat ini, sedangkan yang sebaliknya tidak). Sekarang ambil sejumlah besar "sampel" di waktu dan tempat yang berbeda, di mana Anda merekam apakah hujan dan apakah jalanan basah. Jalan akan basah di lebih banyak sampel di mana hujan turun daripada sampel di mana itu tidak hujan; tetapi juga , hujan akan turun di lebih banyak sampel di mana jalan basah daripada sampel di mana jalan kering. Itu probabilitas.
hobbs

3
Kedua fenomena tersebut disebabkan oleh implikasi yang sama ; implikasinya hanya bekerja satu arah, tetapi mengamati konsekuensinya membuatnya lebih mungkin bahwa Anda melihat sampel di mana anteseden itu benar.
hobbs

7
@Barmar Maaf, tapi itu sebagian menunjukkan kebenaran logika saya. Karena katakanlah 36/25.000 jauh lebih tinggi dari 1 / 150.000.000.
Peter Flom

7
Lebih mungkin dari seseorang yang tingginya kurang dari 2 meter.
Peter Flom

9

Untuk menambahkan jawaban oleh @Dasherman: Apa artinya mengatakan bahwa dua peristiwa terkait , atau mungkin terkait atau berkorelasi ? Mungkin kita bisa untuk definisi membandingkan probabilitas gabungan (Dengan asumsi ): jadi jika lebih besar dari satu, dan terjadi bersama lebih sering daripada di bawah independensi. Maka kita dapat mengatakan bahwa dan berhubungan positif.P(A)>0,P(B)>0

η(A,B)=P(AB)P(A)P(B)
ηABAB

Tetapi sekarang, dengan menggunakan definisi probabilitas bersyarat, adalah konsekuensi yang mudah dari . Tetapi sepenuhnya simetris dalam dan (menukar semua kemunculan simbol dengan dan sebaliknya) meninggalkan formula yang sama , jadi juga setara dengan . Itu memberikan hasilnya. Jadi intuisi Anda minta adalah bahwa adalah simetris di dan .P(AB)P(A)P(B)>1P(BA)>P(B)P(AB)P(A)P(B)ABABP(AB)>P(A)η(A,B)AB

Jawaban oleh @gunes memberikan contoh praktis, dan mudah untuk membuat orang lain dengan cara yang sama.


2

Jika A membuat B lebih mungkin, ini berarti peristiwa itu entah bagaimana terkait. Hubungan ini bekerja dua arah.

Jika A membuat B lebih mungkin, ini berarti bahwa A dan B cenderung terjadi bersama. Ini berarti bahwa B juga membuat A lebih mungkin.


1
Ini mungkin bisa menggunakan beberapa ekspansi? Tanpa definisi terkait itu agak kosong.
mdewey

2
Saya berusaha menjauhi hal-hal yang keras, karena OP meminta penjelasan yang intuitif. Anda benar bahwa itu cukup kosong seperti sekarang, tapi saya tidak yakin bagaimana mengembangkannya secara intuitif. Saya telah menambahkan upaya.
Dasherman

2

Jika A membuat B lebih mungkin, A memiliki informasi penting yang B dapat simpulkan tentang dirinya. Terlepas dari kenyataan bahwa itu mungkin tidak berkontribusi dalam jumlah yang sama, informasi itu tidak hilang sebaliknya. Akhirnya, kami memiliki dua peristiwa yang keberadaannya saling mendukung. Saya tidak bisa membayangkan skenario di mana kemunculan A meningkatkan kemungkinan B, dan kemunculan B mengurangi kemungkinan A. Misalnya, jika hujan, lantai akan basah dengan probabilitas tinggi, dan jika lantainya basah, bukan berarti hujan turun tetapi tidak mengurangi peluang.


2

Anda dapat membuat matematika lebih intuitif dengan membayangkan tabel kontingensi.

A¬Aa+b+c+da+cb+dBa+bab¬Bc+dcd

  • Ketika dan independen maka probabilitas gabungan adalah produk dari probabilitas marjinal Dalam kasus seperti itu Anda akan memiliki probabilitas marginal dan kondisional yang serupa, misalnya dan .AB

    A¬A1x1xBya=xyb=(1x)y¬B1yc=x(1y)d=(1x)(1y)
    P(A)=P(A|B)P(B)=P(B|A)

  • Ketika tidak ada independensi maka Anda bisa melihat ini dengan membiarkan parameter sama (seperti produk margin) tetapi hanya dengan penyesuaian oleha,b,c,d±z

    A¬A1x1xBya+zbz¬B1yczd+z

    Anda bisa melihat ini sebagai melanggar kesetaraan probabilitas marginal dan kondisional atau memutus hubungan untuk probabilitas gabungan menjadi produk dari probabilitas marginal.z

    Sekarang, dari sudut pandang ini (melanggar persamaan ini) Anda dapat melihat bahwa pemecahan ini terjadi dalam dua cara baik untuk dan . Dan ketidaksetaraan akan terjadi pada kedua kasus ketika positif dan ketika negatif.P(A|B)P(A)P(B|A)P(B)>z<z

Jadi Anda bisa melihat koneksi lalu melalui probabilitas gabungan .P(A|B)>P(A)P(B|A)>P(B)P(B,A)>P(A)P(B)

Jika A dan B sering terjadi bersama-sama (probabilitas gabungan lebih tinggi dari produk probabilitas marginal) maka mengamati yang satu akan membuat probabilitas (bersyarat) yang lain lebih tinggi.


2

Misalkan kita menyatakan rasio probabilitas posterior-sebelumnya dari suatu peristiwa sebagai:

Δ(A|B)P(A|B)P(A)

Kemudian ungkapan alternatif dari teorema Bayes (lihat posting terkait ini ) adalah:

Δ(A|B)=P(A|B)P(A)=P(AB)P(A)P(B)=P(B|A)P(B)=Δ(B|A).

Rasio probabilitas posterior terhadap sebelumnya memberi tahu kita apakah peristiwa argumen dibuat lebih atau kurang mungkin dengan terjadinya peristiwa pengkondisian (dan seberapa besar lebih atau kurang mungkin). Bentuk teorema Bayes di atas menunjukkan bahwa rasio probabilitas posterior-sebelumnya adalah simetris dalam variabel. Misalnya, jika mengamati membuat lebih mungkin daripada itu apriori , maka mengamati membuat lebih mungkin daripada itu adalah apriori .BAA BAB


Perhatikan bahwa ini adalah aturan probabilitas, dan karenanya tidak boleh ditafsirkan secara kausal . Simetri ini benar dalam arti probabilistik untuk observasi pasif --- Namun, itu tidak benar jika Anda campur tangan dalam sistem untuk mengubah atau . Dalam kasus terakhir Anda perlu menggunakan operasi kausal (mis. Operator ) untuk menemukan efek perubahan dalam variabel pengkondisian. A B doABdo


1

Anda diberitahu bahwa Sam adalah seorang wanita dan Kim adalah seorang pria, dan salah satu dari keduanya memakai make-up dan yang lainnya tidak. Siapakah di antara mereka yang Anda duga memakai make-up?

Anda diberitahu bahwa Sam memakai make-up dan Kim tidak, dan salah satu dari keduanya adalah pria dan satu wanita. Menurut Anda siapa wanita itu?


Tidak begitu mudah untuk menghubungkan ini dengan masalah aslinya. Apa sebenarnya acara A dan apa itu acara B? Di sini tampaknya lebih seperti beberapa perbandingan probabilitas. Acara A adalah 'x adalah seorang wanita' (bukan A adalah acara 'x adalah seorang pria'). Dan acara B adalah 'x memakai riasan'. Tapi sekarang kita tiba-tiba memiliki Sam dan Kim, dari mana datangnya dan haruskah kita menggunakan informasi tentang maskulinitas subyektif atau feminitas dari nama mereka?
Sextus Empiricus

1

Tampaknya ada beberapa kebingungan antara sebab akibat dan korelasi. Memang, pernyataan pertanyaan salah karena sebab-akibat, seperti dapat dilihat dengan contoh seperti:

  • Jika seekor anjing mengenakan syal, maka ia adalah hewan peliharaan.

Berikut ini tidak benar:

  • Melihat seekor hewan piaraan mengenakan syal menyiratkan itu adalah seekor anjing.
  • Melihat seekor anjing piaraan menyiratkan ia memakai syal.

Namun, jika Anda berpikir tentang probabilitas (korelasi) maka itu BENAR:

  • Anjing yang mengenakan syal lebih cenderung menjadi hewan peliharaan daripada anjing yang tidak mengenakan syal (atau hewan pada umumnya)

Berikut ini benar:

  • Hewan peliharaan yang mengenakan syal lebih cenderung menjadi anjing daripada hewan lain.
  • Anjing piaraan lebih cenderung mengenakan syal daripada anjing bukan piaraan.

Jika ini tidak intuitif, pikirkan kumpulan hewan termasuk semut, anjing, dan kucing. Anjing dan kucing bisa dijinakkan dan memakai syal, semut juga tidak bisa.

  1. Jika Anda meningkatkan kemungkinan hewan peliharaan di kolam renang Anda, itu juga berarti Anda akan meningkatkan kemungkinan melihat seekor hewan mengenakan syal.
  2. Jika Anda meningkatkan kemungkinan kucing atau anjing, maka Anda juga akan meningkatkan kemungkinan melihat seekor binatang mengenakan syal.

Menjadi dijinakkan adalah tautan "rahasia" antara hewan dan mengenakan syal, dan tautan "rahasia" itu akan memberikan pengaruhnya dua arah.

Sunting: Memberikan contoh untuk pertanyaan Anda di komentar:

Bayangkan sebuah dunia di mana binatang adalah Kucing atau Anjing. Mereka bisa dijinakkan atau tidak. Mereka bisa memakai syal atau tidak. Bayangkan ada total 100 hewan, 50 Anjing dan 50 Kucing.

Sekarang pertimbangkan pernyataan A sebagai: " Anjing yang mengenakan syal tiga kali lebih mungkin menjadi hewan peliharaan daripada anjing yang tidak mengenakan syal ".

Jika A tidak benar, maka Anda dapat membayangkan bahwa dunia dapat dibuat dari 50 Anjing, 25 di antaranya dijinakkan (10 di antaranya mengenakan syal), 25 di antaranya liar (10 di antaranya mengenakan syal). Statistik yang sama untuk kucing.

Kemudian, jika Anda melihat hewan peliharaan di dunia ini, ia akan memiliki peluang 50% menjadi seekor anjing (25/50, 25 anjing dari 50 hewan peliharaan) dan 40% kemungkinan memiliki syal (20/50, 10 Anjing dan 10 Kucing dari 50 hewan peliharaan).

Namun, jika A benar, maka Anda memiliki dunia di mana ada 50 Anjing, 25 di antaranya dijinakkan ( 15 di antaranya memakai syal ), 25 di antaranya liar (di antaranya 5 memakai syal ). Kucing mempertahankan statistik lama: 50 Kucing, 25 di antaranya dijinakkan (10 di antaranya memakai syal), 25 di antaranya liar (10 di antaranya memakai syal).

Kemudian, jika Anda melihat hewan peliharaan di dunia ini, ia akan memiliki peluang 50% yang sama untuk menjadi anjing (25/50, 25 anjing dari 50 hewan peliharaan) tetapi akan memiliki 50% (25/50, 15 Anjing dan 10 Kucing dari 50 hewan peliharaan).

Seperti yang dapat Anda lihat, jika Anda mengatakan bahwa A benar, maka jika Anda melihat seekor hewan peliharaan yang mengenakan syal di dunia, kemungkinan besar seekor Anjing (60% atau 15/25) daripada hewan lain (dalam hal ini Kucing, 40% atau 10/25).


Ini adalah baris saya memiliki masalah dengan "Seekor hewan peliharaan mengenakan syal lebih cenderung menjadi anjing daripada hewan lain." Ketika kami membuat pernyataan awal kami, kami tidak membuat klaim pada hewan lain yang bisa memakai syal. Mungkin ada 100-an. Kami hanya membuat pernyataan tentang anjing.
Rahul Deora

Lihat apakah edit saya membantu masalah khusus Anda.
H4uZ

0

Ada kebingungan di sini antara sebab akibat dan korelasi. Jadi saya akan memberi Anda sebuah contoh di mana hal sebaliknya terjadi.

Beberapa orang kaya, beberapa miskin. Beberapa orang miskin diberikan manfaat, yang membuat mereka kurang miskin. Tetapi orang-orang yang mendapatkan manfaat masih lebih cenderung miskin, bahkan dengan manfaat.

Jika Anda diberi manfaat, itu membuat Anda lebih mampu membeli tiket bioskop. ("Jadikan lebih mungkin" artinya kausalitas). Tetapi jika Anda mampu membeli tiket bioskop, itu membuat kemungkinan Anda berada di antara orang-orang yang cukup miskin untuk mendapatkan manfaat, jadi jika Anda mampu membeli tiket bioskop, Anda cenderung mendapat manfaat.


5
Ini bukan jawaban untuk pertanyaan itu. Menarik, tetapi bukan jawaban. Sebenarnya, ini berbicara tentang skenario yang berbeda; alasan yang sebaliknya terjadi adalah karena menggunakan dua metrik berbeda yang dinamai sama (miskin tanpa manfaat vs miskin dengan manfaat) dan karenanya merupakan skenario yang sama sekali berbeda.
wizzwizz4

0

Intuisi menjadi jelas jika Anda melihat pernyataan yang lebih kuat:

Jika A menyiratkan B, maka B membuat A lebih mungkin.

Implication:
  A true  -> B true
  A false -> B true or false
Reverse implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false

Jelas A lebih mungkin benar jika B diketahui benar juga, karena jika B salah maka akan menjadi A. Logika yang sama berlaku untuk pernyataan yang lebih lemah:

Jika A membuat B lebih mungkin, maka B membuat A lebih mungkin.

Weak implication:
  A true  -> B true or (unlikely) false
  A false -> B true or false
Reverse weak implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false or (unlikely) true

Saya pikir apa yang Anda katakan dalam pernyataan pertama adalah bahwa dalam diagram venn jika A terkandung dalam B, maka jika B benar n (A) / n (B) harus lebih tinggi dari n (A) / n (S) karena B adalah ruang yang lebih kecil dari S. Bahkan di detik, Anda juga mengatakan demikian?
Rahul Deora

@RahulDeora - Ya, begitulah cara kerjanya. Versi yang lemah jauh kurang jelas, tetapi Anda sudah melakukan perhitungan matematika. Apa yang Anda minta adalah intuisi di balik hasilnya, yang paling baik diamati dalam pernyataan yang lebih kuat.
Rainer P.

Masalah kecil dengan menggunakan pernyataan ini untuk mendapatkan lebih banyak intuisi adalah bahwa itu tidak sepenuhnya benar. 'A menyiratkan B' bukanlah kondisi yang cukup untuk 'ketika B maka A lebih mungkin'. Perbedaan penting adalah bahwa dengan 'A menyiratkan B' tidak perlu membuat B lebih mungkin. Contoh paling penting adalah ketika B selalu benar.
Sextus Empiricus

0

P(successful|Alice)>P(successful)P(Alice|successful)>P(Alice)

Atau misalkan ada sekolah yang memiliki 10% siswa di distrik sekolahnya, tetapi 15% siswa straight-A. Maka jelas persentase siswa di sekolah itu yang merupakan siswa straight-A lebih tinggi daripada persentase di seluruh kabupaten.

P(A&B)>P(A)P(B)AB

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.