Jika 'B lebih mungkin diberikan A', maka 'A lebih mungkin diberikan B'

Saya mencoba untuk mendapatkan intuisi yang lebih jelas: "Jika membuat lebih mungkin maka membuat lebih mungkin" yaitu$A$$B$$B$$A$

Misalkan menunjukkan ukuran ruang di mana dan berada$n(S)$$A$$B$

Klaim: so$P(B|A)>P(B)$$n(AB)/n(A) > n(B)/n(S)$

jadi$n(AB)/n(B) > n(A)/n(S)$

yang merupakan$P(A|B)>P(A)$

Saya mengerti matematika, tetapi mengapa ini masuk akal?

Dengan intuisi, contoh-contoh dunia nyata seperti yang diberikan Peter Flom sangat membantu bagi sebagian orang. Hal lain yang biasanya membantu orang adalah gambar. Jadi, untuk menutupi sebagian besar pangkalan, mari kita memiliki beberapa gambar.

Apa yang kita miliki di sini adalah dua diagram yang sangat mendasar yang menunjukkan probabilitas. Yang pertama menunjukkan dua predikat independen yang saya sebut Merah dan Biasa. Jelas bahwa mereka independen karena garis berbaris. Proporsi area polos yang berwarna merah sama dengan proporsi area bergaris yang berwarna merah dan juga sama dengan proporsi total yang berwarna merah.

Pada gambar kedua, kami memiliki distribusi non-independen. Secara khusus, kami telah memperluas beberapa area merah polos ke area bergaris tanpa mengubah fakta bahwa itu merah. Maka jelas, menjadi merah membuat menjadi lebih mungkin.

Sementara itu, lihatlah sisi polos gambar itu. Jelas proporsi wilayah polos yang berwarna merah lebih besar daripada proporsi keseluruhan gambar yang berwarna merah. Itu karena daerah dataran telah diberikan banyak daerah lebih banyak dan semuanya berwarna merah.

Jadi, merah membuat polos lebih mungkin, dan polos membuat merah lebih mungkin.

Apa yang sebenarnya terjadi di sini? A adalah bukti untuk B (yaitu, A membuat B lebih mungkin) ketika area yang mengandung A dan B lebih besar dari yang diperkirakan jika mereka independen. Karena persimpangan antara A dan B sama dengan persimpangan antara B dan A, itu juga menyiratkan bahwa B adalah bukti untuk A.

Satu catatan kehati-hatian: meskipun argumen di atas tampak sangat simetris, mungkin tidak demikian halnya bahwa kekuatan bukti di kedua arah sama. Sebagai contoh, perhatikan gambar ketiga ini. Di sini hal yang sama telah terjadi: merah polos telah memakan wilayah yang sebelumnya milik garis merah. Bahkan, itu telah menyelesaikan pekerjaannya!

Perhatikan bahwa titik merah langsung menjamin kejelasan karena tidak ada daerah merah bergaris yang tersisa. Namun titik yang polos belum menjamin kemerahan, karena masih ada daerah hijau yang tersisa. Namun demikian, titik di dalam kotak yang polos meningkatkan kemungkinannya merah, dan titik yang merah meningkatkan peluang bahwa itu jelas. Kedua arah menyiratkan lebih mungkin, tidak dengan jumlah yang sama.

Saya pikir cara matematika lain untuk menjelaskannya bisa membantu. Pertimbangkan klaim dalam konteks aturan Bayes:

Klaim: jika maka$P(B|A)>P(B)$$P(A|B) > P(A)$

Aturan Bayes:

dengan asumsi bukan nol. Jadi$P(B)$

Jika , maka .$P(B|A)>P(B)$$\frac{P(B|A)}{P(B)} > 1$

Kemudian , dan begitu .$\frac{P(A|B)}{P(A)} > 1$$P(A|B) > P(A)$

Ini membuktikan klaim dan kesimpulan yang bahkan lebih kuat - bahwa proporsi masing-masing kemungkinan harus sama.

Yah, saya tidak suka kata "membuat" dalam pertanyaan. Itu menyiratkan semacam kausalitas dan kausalitas biasanya tidak terbalik.

Tetapi Anda meminta intuisi. Jadi, saya akan memikirkan beberapa contoh, karena itu sepertinya memicu intuisi. Pilih yang Anda suka:

Jika seseorang adalah seorang wanita, kemungkinan besar orang tersebut memilih Demokrat.
Jika seseorang memilih seorang Demokrat, kemungkinan besar orang itu adalah seorang wanita.

Jika seorang pria adalah pusat bola basket profesional, kemungkinan besar dia lebih dari 2 meter.
Jika seorang pria lebih dari 2 meter, kemungkinan besar dia adalah pusat bola basket.

Jika lebih dari 40 derajat Celcius, kemungkinan besar akan terjadi pemadaman.
Jika ada pemadaman listrik, kemungkinannya lebih dari 40 derajat.

Dan seterusnya.

Untuk menambahkan jawaban oleh @Dasherman: Apa artinya mengatakan bahwa dua peristiwa terkait , atau mungkin terkait atau berkorelasi ? Mungkin kita bisa untuk definisi membandingkan probabilitas gabungan (Dengan asumsi ): jadi jika lebih besar dari satu, dan terjadi bersama lebih sering daripada di bawah independensi. Maka kita dapat mengatakan bahwa dan berhubungan positif.$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(A)>0, \P(B)>0$

Tetapi sekarang, dengan menggunakan definisi probabilitas bersyarat, adalah konsekuensi yang mudah dari . Tetapi sepenuhnya simetris dalam dan (menukar semua kemunculan simbol dengan dan sebaliknya) meninggalkan formula yang sama , jadi juga setara dengan . Itu memberikan hasilnya. Jadi intuisi Anda minta adalah bahwa adalah simetris di dan .$\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}>1$$\P(B \mid A) > \P(B)$$\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}$$A$$B$$A$$B$$\P(A \mid B) > \P(A)$$\eta(A,B)$$A$$B$

Jawaban oleh @gunes memberikan contoh praktis, dan mudah untuk membuat orang lain dengan cara yang sama.

Jika A membuat B lebih mungkin, ini berarti peristiwa itu entah bagaimana terkait. Hubungan ini bekerja dua arah.

Jika A membuat B lebih mungkin, ini berarti bahwa A dan B cenderung terjadi bersama. Ini berarti bahwa B juga membuat A lebih mungkin.

Jika A membuat B lebih mungkin, A memiliki informasi penting yang B dapat simpulkan tentang dirinya. Terlepas dari kenyataan bahwa itu mungkin tidak berkontribusi dalam jumlah yang sama, informasi itu tidak hilang sebaliknya. Akhirnya, kami memiliki dua peristiwa yang keberadaannya saling mendukung. Saya tidak bisa membayangkan skenario di mana kemunculan A meningkatkan kemungkinan B, dan kemunculan B mengurangi kemungkinan A. Misalnya, jika hujan, lantai akan basah dengan probabilitas tinggi, dan jika lantainya basah, bukan berarti hujan turun tetapi tidak mengurangi peluang.

Anda dapat membuat matematika lebih intuitif dengan membayangkan tabel kontingensi.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &a+b+c+d & a+c & b+d \\\hline B& a+b& a & b \\ \lnot B & c+d& c & d \\ \end{array} \end{array}$

• Ketika dan independen maka probabilitas gabungan adalah produk dari probabilitas marjinal Dalam kasus seperti itu Anda akan memiliki probabilitas marginal dan kondisional yang serupa, misalnya dan .$A$$B$

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a=xy & b=(1-x)y \\ \lnot B & 1-y& c=x (1-y) & d=(1-x)(1-y)\\ \end{array} \end{array}$$ $P (A) = P (A|B)$$P (B)=P (B|A)$

• Ketika tidak ada independensi maka Anda bisa melihat ini dengan membiarkan parameter sama (seperti produk margin) tetapi hanya dengan penyesuaian oleh$a,b,c,d$$\pm z$

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a+z & b-z \\ \lnot B & 1-y& c-z & d+z\\ \end{array} \end{array}$$

  Anda bisa melihat ini sebagai melanggar kesetaraan probabilitas marginal dan kondisional atau memutus hubungan untuk probabilitas gabungan menjadi produk dari probabilitas marginal.$z$

  Sekarang, dari sudut pandang ini (melanggar persamaan ini) Anda dapat melihat bahwa pemecahan ini terjadi dalam dua cara baik untuk dan . Dan ketidaksetaraan akan terjadi pada kedua kasus ketika positif dan ketika negatif.$P(A|B) \neq P(A)$$P(B|A) \neq P(B)$$>$$z$$<$$z$

Jadi Anda bisa melihat koneksi lalu melalui probabilitas gabungan .$P(A|B) > P(A)$$P(B|A) > P(B)$$P(B,A) > P (A) P (B)$

Jika A dan B sering terjadi bersama-sama (probabilitas gabungan lebih tinggi dari produk probabilitas marginal) maka mengamati yang satu akan membuat probabilitas (bersyarat) yang lain lebih tinggi.

Misalkan kita menyatakan rasio probabilitas posterior-sebelumnya dari suatu peristiwa sebagai:

Kemudian ungkapan alternatif dari teorema Bayes (lihat posting terkait ini ) adalah:

Rasio probabilitas posterior terhadap sebelumnya memberi tahu kita apakah peristiwa argumen dibuat lebih atau kurang mungkin dengan terjadinya peristiwa pengkondisian (dan seberapa besar lebih atau kurang mungkin). Bentuk teorema Bayes di atas menunjukkan bahwa rasio probabilitas posterior-sebelumnya adalah simetris dalam variabel. Misalnya, jika mengamati membuat lebih mungkin daripada itu apriori , maka mengamati membuat lebih mungkin daripada itu adalah apriori .$^\dagger$$B$$A$A B$A$$B$

$^\dagger$ Perhatikan bahwa ini adalah aturan probabilitas, dan karenanya tidak boleh ditafsirkan secara kausal . Simetri ini benar dalam arti probabilistik untuk observasi pasif --- Namun, itu tidak benar jika Anda campur tangan dalam sistem untuk mengubah atau . Dalam kasus terakhir Anda perlu menggunakan operasi kausal (mis. Operator ) untuk menemukan efek perubahan dalam variabel pengkondisian. A B do$A$$B$$\text{do}$

Anda diberitahu bahwa Sam adalah seorang wanita dan Kim adalah seorang pria, dan salah satu dari keduanya memakai make-up dan yang lainnya tidak. Siapakah di antara mereka yang Anda duga memakai make-up?

Anda diberitahu bahwa Sam memakai make-up dan Kim tidak, dan salah satu dari keduanya adalah pria dan satu wanita. Menurut Anda siapa wanita itu?

Tampaknya ada beberapa kebingungan antara sebab akibat dan korelasi. Memang, pernyataan pertanyaan salah karena sebab-akibat, seperti dapat dilihat dengan contoh seperti:

• Jika seekor anjing mengenakan syal, maka ia adalah hewan peliharaan.

Berikut ini tidak benar:

• Melihat seekor hewan piaraan mengenakan syal menyiratkan itu adalah seekor anjing.
• Melihat seekor anjing piaraan menyiratkan ia memakai syal.

Namun, jika Anda berpikir tentang probabilitas (korelasi) maka itu BENAR:

• Anjing yang mengenakan syal lebih cenderung menjadi hewan peliharaan daripada anjing yang tidak mengenakan syal (atau hewan pada umumnya)

Berikut ini benar:

• Hewan peliharaan yang mengenakan syal lebih cenderung menjadi anjing daripada hewan lain.
• Anjing piaraan lebih cenderung mengenakan syal daripada anjing bukan piaraan.

Jika ini tidak intuitif, pikirkan kumpulan hewan termasuk semut, anjing, dan kucing. Anjing dan kucing bisa dijinakkan dan memakai syal, semut juga tidak bisa.

1. Jika Anda meningkatkan kemungkinan hewan peliharaan di kolam renang Anda, itu juga berarti Anda akan meningkatkan kemungkinan melihat seekor hewan mengenakan syal.
2. Jika Anda meningkatkan kemungkinan kucing atau anjing, maka Anda juga akan meningkatkan kemungkinan melihat seekor binatang mengenakan syal.

Menjadi dijinakkan adalah tautan "rahasia" antara hewan dan mengenakan syal, dan tautan "rahasia" itu akan memberikan pengaruhnya dua arah.

Sunting: Memberikan contoh untuk pertanyaan Anda di komentar:

Bayangkan sebuah dunia di mana binatang adalah Kucing atau Anjing. Mereka bisa dijinakkan atau tidak. Mereka bisa memakai syal atau tidak. Bayangkan ada total 100 hewan, 50 Anjing dan 50 Kucing.

Sekarang pertimbangkan pernyataan A sebagai: " Anjing yang mengenakan syal tiga kali lebih mungkin menjadi hewan peliharaan daripada anjing yang tidak mengenakan syal ".

Jika A tidak benar, maka Anda dapat membayangkan bahwa dunia dapat dibuat dari 50 Anjing, 25 di antaranya dijinakkan (10 di antaranya mengenakan syal), 25 di antaranya liar (10 di antaranya mengenakan syal). Statistik yang sama untuk kucing.

Kemudian, jika Anda melihat hewan peliharaan di dunia ini, ia akan memiliki peluang 50% menjadi seekor anjing (25/50, 25 anjing dari 50 hewan peliharaan) dan 40% kemungkinan memiliki syal (20/50, 10 Anjing dan 10 Kucing dari 50 hewan peliharaan).

Namun, jika A benar, maka Anda memiliki dunia di mana ada 50 Anjing, 25 di antaranya dijinakkan ( 15 di antaranya memakai syal ), 25 di antaranya liar (di antaranya 5 memakai syal ). Kucing mempertahankan statistik lama: 50 Kucing, 25 di antaranya dijinakkan (10 di antaranya memakai syal), 25 di antaranya liar (10 di antaranya memakai syal).

Kemudian, jika Anda melihat hewan peliharaan di dunia ini, ia akan memiliki peluang 50% yang sama untuk menjadi anjing (25/50, 25 anjing dari 50 hewan peliharaan) tetapi akan memiliki 50% (25/50, 15 Anjing dan 10 Kucing dari 50 hewan peliharaan).

Seperti yang dapat Anda lihat, jika Anda mengatakan bahwa A benar, maka jika Anda melihat seekor hewan peliharaan yang mengenakan syal di dunia, kemungkinan besar seekor Anjing (60% atau 15/25) daripada hewan lain (dalam hal ini Kucing, 40% atau 10/25).

Ada kebingungan di sini antara sebab akibat dan korelasi. Jadi saya akan memberi Anda sebuah contoh di mana hal sebaliknya terjadi.

Beberapa orang kaya, beberapa miskin. Beberapa orang miskin diberikan manfaat, yang membuat mereka kurang miskin. Tetapi orang-orang yang mendapatkan manfaat masih lebih cenderung miskin, bahkan dengan manfaat.

Jika Anda diberi manfaat, itu membuat Anda lebih mampu membeli tiket bioskop. ("Jadikan lebih mungkin" artinya kausalitas). Tetapi jika Anda mampu membeli tiket bioskop, itu membuat kemungkinan Anda berada di antara orang-orang yang cukup miskin untuk mendapatkan manfaat, jadi jika Anda mampu membeli tiket bioskop, Anda cenderung mendapat manfaat.

Intuisi menjadi jelas jika Anda melihat pernyataan yang lebih kuat:

Jika A menyiratkan B, maka B membuat A lebih mungkin.

Implication:
  A true  -> B true
  A false -> B true or false
Reverse implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false

Jelas A lebih mungkin benar jika B diketahui benar juga, karena jika B salah maka akan menjadi A. Logika yang sama berlaku untuk pernyataan yang lebih lemah:

Jika A membuat B lebih mungkin, maka B membuat A lebih mungkin.

Weak implication:
  A true  -> B true or (unlikely) false
  A false -> B true or false
Reverse weak implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false or (unlikely) true

$P(successful|Alice)>P(successful)$$P(Alice|successful)>P(Alice)$

Atau misalkan ada sekolah yang memiliki 10% siswa di distrik sekolahnya, tetapi 15% siswa straight-A. Maka jelas persentase siswa di sekolah itu yang merupakan siswa straight-A lebih tinggi daripada persentase di seluruh kabupaten.

$P(A\&B)>P(A)P(B)$$A$$B$