Adakah yang bisa menjelaskan parameter distribusi lognormal kepada saya?

Saya sedang membaca dan ini adalah definisi yang saya dapatkan dari buku DeGroot:

Apakah itu berarti parameternya sama? Sebagai contoh, anggap X terdistribusi normal dan Y terdistribusi normal di mana Y = log (X). Apakah ini mengatakan bahwa X dan Y memiliki mean dan SD yang sama meskipun mereka berbeda bentuk distribusi? Jika tidak, sebaran apa yang dimaksud dengan μ dan σ?

Dengan kata lain, jika seseorang mengatakan X terdistribusi secara lognormal dengan mean μ dan SD σ, apakah saya perlu melakukan konversi apa pun sehingga mean dan SD dalam kondisi normal?

normal-distribution lognormal

— bingung
sumber

Jangan bingung parameter keluarga distribusi dengan momen. Meskipun parameter distribusi Lognormal, mereka bukan berarti atau standar deviasi mereka.

μ, σ

$\mu,\sigma$

— Whuber

Mereka memiliki parameter yang sama, tetapi mereka tidak memiliki mean yang sama atau standar deviasi yang sama. Dua parameter, dan yang merupakan rata-rata dan standar deviasi bukan rata-rata dan standar deviasi Tetapi rata-rata dan standar deviasi adalah fungsi dari dan

μ

$\mu$

σ,

$\sigma,$

\log X,

$\log X,$

X .

$X.$

X

$X$

μ

$\mu$

σ .

$\sigma. \qquad$

— Michael Hardy

Jawaban:

anggap X terdistribusi secara normal dan Y terdistribusi normal di mana Y = log (X)

Di sinilah Anda bingung. Anda tidak membuat asumsi pada dua distribusi, salah satunya adalah log yang lain.

Sebaliknya, Anda mulai dengan distribusi . Kemudian Anda mempertimbangkan . Jika , maka kita mengatakan bahwa distribusi asli adalah lognormal dengan parameter dan . $X$ $\log X$ $\log X\sim N(\mu,\sigma^2)$ $X$ $\mu$ $\sigma^2$

(Dan kemudian rata-rata adalah , misalnya, jadi parameternya tentu tidak sama. Ini juga mengapa lebih baik untuk berbicara tentang "parameter" dari lognormal, daripada "mean dan SD" - karena sangat mudah untuk bingung apakah ini merujuk ke mean aktual atau log-mean, sama untuk SD.) $X$ $\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)$

— Stephan Kolassa
sumber

Ok terima kasih sudah menjelaskan. Jadi umumnya ketika orang memberikan parameter, seperti μ dan σ, yang mengacu pada distribusi Y atau log (X). Untuk mendapatkan rata-rata dari distribusi lognormal diperlukan konversi.

— bingung

Jawaban bagus! Saya hanya beberapa detik terlambat memposting milik saya. 😃

— Isabella Ghement

Tetapi parameternya sama. Kemudian mean dan standar deviasi dan banyak hal lainnya adalah sama, tetapi kedua parameter itu sama.

— Michael Hardy

@MichaelHardy: ya, parameternya sama, menurut definisi. Saya hanya meringis sedikit setiap kali seseorang menelepon

μ

$\mu$ "parameter rata-rata lognormal", karena hanya log-rata, dan sangat mudah untuk membingungkan mereka.

— Stephan Kolassa

Wikipedia memiliki artikel yang bagus tentang distribusi log-normal: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution . Artikel ini mengungkapkan bahwa X yang terdistribusi normal dan log terdistribusi normal (X) memiliki cara dan standar deviasi yang berbeda.

Jika X mengikuti distribusi log-normal dengan parameter $\mu$ dan $\sigma$ , kemudian $\mu$ dan $\sigma$ mewakili mean dan standar deviasi dari distribusi log (X), yang normal. Dengan kata lain, mean dan standar deviasi dari log yang terdistribusi normal (X) adalah:

Arti dari $\log(X)=\mu$

SD dari $\log(X) = \sigma$

Rata-rata dan standar deviasi X yang terdistribusi normal adalah sebagai berikut:

Berarti X = $\exp(\mu + \sigma^2/2)$

SD X = $\sqrt{\left[\exp\left(\sigma^2\right) - 1\right] \cdot \exp(2\mu + \sigma^2)}$

— Isabella Ghement
sumber

Jawaban Isabella Ghement baik. Hanya ingin menunjukkan bahwa dalam jawaban itu, SD X memiliki kesalahan ketik. exp [𝜎 ^ 2−1] harus (exp [𝜎 ^ 2] −1). Melakukan pengambilan sampel Monte Carlo untuk memverifikasi mean dan SD dari distribusi log-normal dan SD saya tidak cocok dengan ekspresi di atas. Mengverifikasi halaman wiki yang tertaut dan mencatat kesalahan ketik. PS: Sebenarnya ingin menambahkan komentar ke jawaban @Isabella Ghement tetapi tidak memiliki kredensial yang diperlukan untuk melakukan itu. Sebaliknya, menambahkan jawaban baru.

— Ajay A