Generalisasi distribusi dan klasifikasi normal multivariat

Saya tertarik pada keluarga distribusi multivariat yang dapat dilihat sebagai generalisasi dari distribusi normal multivariat, sejauh ditentukan oleh nilai ekspektasi $\vec \mu$ dan matriks kovarians $\Sigma$ , ditambah fungsi yang menurun secara monoton $g(d)$ sedemikian rupa sehingga kepadatannya

p (\vec{x}) \propto g (Δ (\vec{x}, \vec{μ}))

$p(\vec x) \propto g \left ( \Delta(\vec x, \vec \mu) \right )$ dimana

Δ (\vec{a}, \vec{b}) = \sqrt{(\vec{a} - \vec{b})^{T} Σ^{- 1} (\vec{a} - \vec{b})}

$\Delta(\vec a, \vec b) = \sqrt { (\vec a - \vec b)^T \Sigma^{-1} (\vec a - \vec b) }$ adalah jarak Mahalanobis. Normal multivarian tentu saja pulih oleh

g (d) = \exp (- \frac{1}{2} d^{2})

$g(d) = \exp (- \frac12 d^2 )$ .

Pertanyaan pertama saya adalah: Apa nama keluarga distribusi ini?

Mudah untuk menunjukkan bahwa untuk klasifikasi titik data yang diberikan ke satu dari dua kelas atau lebih, masing-masing dijelaskan oleh kepadatan dengan perbedaan $\mu$ tapi identik $\Sigma$ dan $g(d)$ , batas-batas klasifikasi yang optimal adalah piecewise linear (hyperplanar).

Pertanyaan kedua saya adalah: Apakah ini hasil standar, dan jika ya, apa referensi literatur standar (buku teks) untuk itu?

— A. Donda
sumber

Setahu saya, ada dua keluarga distribusi yang terkait dengan deskripsi Anda: 1. Distribusi elips dan 2. Distribusi bola .

Hai @Prastrastator, terasa aneh memiliki posting seseorang diedit oleh orang lain, tapi saya mengerti maksud Anda. - Mengenai komentar Anda, saya yakin distribusi elips persis seperti yang saya maksud, dan distribusi bola adalah kasus khusus. Karena itu saya pikir apa yang Anda tulis bukanlah komentar tetapi jawaban. Terima kasih banyak! - Menggunakan terminologi yang baru ditemukan, pencarian penggunaannya dalam klasifikasi masih belum menghasilkan apa-apa, jadi pertanyaan kedua saya masih terbuka.

— A. Donda

Jawaban untuk pertanyaan pertama diberikan oleh Penunda dalam komentar: Keluarga disebut Distribusi Elips . Referensi buku teks standar tampaknya

Fang, K., Kotz, S., Ng, KW, 1990. Multivariat Simetris dan Distribusi Terkait. Chapman dan Hall.

Mengenai pertanyaan kedua , tampak bahwa sebagian besar literatur tentang klasifikasi mempertimbangkan distribusi normal multivariat atau prosedur yang sepenuhnya nonparametrik. Saya memang menemukan satu publikasi meskipun yang membandingkan algoritma klasifikasi berdasarkan penduga yang berbeda $\vec \mu$ dan $\Sigma$ , dan melakukannya dalam konteks distribusi elips:

Hartikainen, A., Oja, H., 2006. Pada beberapa aturan diskriminasi parametrik, nonparametrik dan semiparametrik, dalam: Kedalaman Data: Analisis Multivariat Kuat, Geometri Komputasi, dan Aplikasi. American Mathematical Society, hlm. 61–70.

— A. Donda
sumber