Momen Sentral Distribusi Simetris

Saya mencoba menunjukkan bahwa momen sentral dari distribusi simetris: adalah nol untuk angka ganjil. Jadi misalnya momen sentral ketigaSaya mulai dengan mencoba menunjukkan bahwaSaya tidak yakin ke mana harus pergi dari sini, ada saran? Apakah ada cara yang lebih baik untuk membuktikan hal ini?

f_{x} (a + x) = f_{x} (a - x)

${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$

E [(X - u)^{3}] = 0 .

${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$

E [(X - u)^{3}] = E [X^{3}] - 3 u E [X^{2}] + 3 u^{2} E [X] - u^{3} .

${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$

mathematical-statistics expected-value moments

— pengguna18262
sumber

Petunjuk: Untuk kesederhanaan, asumsikan bahwa simetris tentang . Anda kemudian dapat menunjukkan bahwa dengan memisahkan integral antara dan dan menggunakan asumsi simetri. Kemudian Anda hanya perlu menunjukkan bahwa untuk . Ini dapat dilakukan lagi dengan memisahkan integral dan menggunakan argumen serupa.

f

$f$

0

$0$

E [X] = u = 0

$E[X]=u=0$

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

E [X^{k}] = 0

$E[X^k]=0$

k = 3, 5, 7, 9, . . .

$k=3,5,7,9,...$

Tapi, tolong , berhati-hatilah dengan saran @ Procrastinator (+1)! Kalau tidak, Anda dapat "membuktikan" sesuatu yang salah! Anda perlu menunjukkan bahwa setiap bagian dari integral split terbatas. (Jika ada, yang lain juga harus demikian.)

— kardinal

Apa perbedaan antara dan ?

a

$a$

u

$u$

— Henry

@DilipSarwate Mengapa Anda tidak menangkap semua pemikiran itu dalam jawaban alih-alih mencari hal-hal kecil dalam komentar yang tidak bermaksud menjadi jawaban komprehensif?

@ Macro: Sayang sekali, sungguh. Penunda sekarang bergabung dengan daftar beberapa kontributor yang sangat dihargai (dalam pandangan saya) yang tampaknya telah hilang selama beberapa bulan terakhir (atau yang telah sangat mengurangi aktivitas mereka). Di sisi positifnya, sangat menyenangkan melihat uptick Anda baru-baru ini dalam partisipasi! Saya harap ini akan berlanjut.

— kardinal

Jawaban ini bertujuan untuk membuat demonstrasi yang se-dasar mungkin, karena hal-hal seperti itu sering kali sampai pada ide yang hakiki. Satu- satunya fakta yang diperlukan (di luar jenis manipulasi aljabar paling sederhana) adalah linearitas integrasi (atau, ekuivalen, harapan), perubahan rumus variabel untuk integral, dan hasil aksiomatis bahwa PDF diintegrasikan ke dalam kesatuan.

Memotivasi demonstrasi ini adalah intuisi bahwa ketika simetris tentang , maka kontribusi dari setiap kuantitas untuk harapan akan memiliki bobot yang sama dengan kuantitas , karena dan yang di sisi berlawanan dari dan sama-sama jauh dari itu. Asalkan, untuk semua $f_X$ $a$ $G(x)$ $\mathbb{E}_X(G(X))$ $G(2a-x)$ $x$ $2a-x$ $a$ $G(x) = -G(2a-x)$ $x$ , semuanya dibatalkan dan harapannya harus nol. Maka, hubungan antara dan adalah titik tolak kami. $x$ $2a-x$

Perhatikan, dengan menulis , bahwa simetri dapat juga diungkapkan oleh hubungan $y = x + a$

f_{X} (y) = f_{X} (2 a - y)

$f_X(y) = f_X(2a-y)$

untuk semua . Untuk setiap fungsi terukur , perubahan satu-ke-satu dari variabel dari ke berubah ke , sambil membalikkan arah integrasi, menyiratkan $y$ $G$ $x$ $2a-x$ $dx$ $-dx$

E_{X} (G (X)) = \int G (x) f_{X} (x) d x = \int G (x) f_{X} (2 a - x) d x = \int G (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$

Dengan asumsi harapan ini ada (yaitu, integral terpusat), linearitas integral menyiratkan

\int (G (x) - G (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 0.

$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$

Pertimbangkan momen aneh tentang , yang didefinisikan sebagai ekspektasi , . Dalam kasus-kasus ini $a$ $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$ $k = 1, 3, 5, \ldots$

\begin{aligned} G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x) & = (x - a)^{k} - (2 a - x - a)^{k} \\ = (x - a)^{k} - (a - x)^{k} \\ = (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k} \\ = 2 (x - a)^{k}, \end{aligned}

$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$

justru karena aneh. Menerapkan hasil sebelumnya memberi $k$

0 = \int (G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 2 \int (x - a)^{k} f_{X} (x) d x .

$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$

Karena sisi kanan adalah dua kali momen ke- tentang , pembagian dengan menunjukkan bahwa momen ini adalah nol setiap kali ada. $k$ $a$ $2$

Akhirnya, mean (dengan asumsi itu ada) adalah

μ_{X} = E_{X} (X) = \int x f_{X} (x) d x = \int (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$

Sekali lagi mengeksploitasi linearitas, dan mengingat bahwa karena adalah distribusi probabilitas, kita dapat mengatur ulang persamaan terakhir untuk dibaca $\int f_X(x)dx=1$ $f_X$

2 μ_{X} = 2 \int x f_{X} (x) d x = 2 a \int f_{X} (x) d x = 2 a \times 1 = 2 a

$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$

dengan solusi unik . Oleh karena itu, semua perhitungan kami sebelumnya tentang benar-benar merupakan momen sentral, QED. $\mu_X = a$ $a$

Kata penutup

Kebutuhan untuk membagi di beberapa tempat terkait dengan fakta bahwa ada kelompok urutan bekerja pada fungsi yang dapat diukur (yaitu, kelompok yang dihasilkan oleh refleksi di garis sekitar ). Secara lebih umum, gagasan simetri dapat digeneralisasikan ke tindakan kelompok mana pun. Teori representasi kelompok menyiratkan bahwa ketika karakter $2$ $2$ $a$ tindakan itu pada fungsi tidak sepele, itu ortogonal dengan karakter sepele, dan itu berarti harapan fungsi harus nol. Hubungan ortogonalitas melibatkan penambahan (atau pengintegrasian) di atas grup, di mana ukuran grup secara konstan muncul dalam penyebut: kardinalitasnya ketika terbatas atau volumenya ketika padat.

Keindahan generalisasi ini menjadi jelas dalam aplikasi dengan simetri nyata , seperti dalam persamaan mekanis (atau mekanika kuantum) dari gerak sistem simetris yang dicontohkan oleh molekul benzena (yang memiliki grup simetri 12 elemen). (Aplikasi QM paling relevan di sini karena secara eksplisit menghitung ekspektasi.) Nilai minat fisik - yang biasanya melibatkan integral multidimensi tensor - dapat dihitung dengan tidak ada lebih banyak pekerjaan daripada yang terlibat di sini, hanya dengan mengetahui karakter yang terkait dengan integrand. Misalnya, "warna" berbagai molekul simetris - spektrumnya pada berbagai panjang gelombang - dapat ditentukan secara initio dengan pendekatan ini.

— whuber
sumber

a

$a$

= (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k}

$=(1^k-(-1)^k)(x-a)^k$

@ Max Yep: Terima kasih telah membaca dengan sangat hati-hati! (Sekarang sudah diperbaiki.)

— whuber