Teorema batas pusat dan hukum dalam jumlah besar

Saya punya pertanyaan yang sangat pemula tentang Central Limit Theorem (CLT):

Saya sadar bahwa CLT menyatakan bahwa rata-rata variabel acak iid adalah sekitar normal terdistribusi (untuk , di mana adalah indeks dari penjumlahan) atau variabel acak standar akan memiliki distribusi normal standar. $n \to \infty$ $n$

Sekarang Hukum Angka Besar menyatakan secara kasar bahwa rata-rata variabel acak iid menyatu (dalam probabilitas atau hampir pasti) dengan nilai yang diharapkan.

Apa yang saya tidak mengerti adalah: Jika, seperti yang dinyatakan CLT, rerataanya kira-kira terdistribusi normal, bagaimana bisa juga konvergen ke nilai yang diharapkan pada saat yang sama?

Konvergensi akan menyiratkan bagi saya bahwa dengan waktu probabilitas bahwa mean mengambil nilai yang bukan nilai yang diharapkan hampir nol, maka distribusi tidak akan benar-benar normal tetapi hampir nol di mana-mana kecuali pada nilai yang diharapkan.

Semua penjelasan diterima.

— Pegah
sumber

Kunci untuk jawabannya terletak di tempat kata "standar" muncul di pertanyaan Anda.

— Whuber

Maaf tapi saya tidak yakin saya mengerti.

— Pegah

Petunjuk: satu teorema adalah tentang yang memiliki varian , yang lain tentang yang memiliki varian .

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— Dilip Sarwate

Teorema Limit Pusat adalah tentang perjalanan dan Hukum Kuat Sejumlah Besar adalah tentang tujuan.

— kardinal

Gambar ini menunjukkan distribusi rata-rata (biru), (merah), dan (emas) independen dan terdistribusi secara identik ( iid ) distribusi normal (dari varian unit dan mean ): $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

Tiga PDF yang tumpang tindih

Ketika meningkat, distribusi rata-rata menjadi lebih "fokus" pada . (Perasaan "fokus" mudah dikuantifikasi: diberikan setiap interval terbuka tetap sekitar , jumlah distribusi dalam meningkat dengan dan memiliki nilai pembatas ). $n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

Namun, ketika kami menstandarkan distribusi ini, kami mengubah skala masing-masing untuk memiliki rata-rata dan varian unit: semuanya sama saja. Ini adalah bagaimana kita melihat bahwa meskipun PDF dari sarana sendiri spiking ke atas dan berfokus sekitar , namun setiap satu dari distro ini masih memiliki normal bentuk, meskipun mereka berbeda secara individual. $0$ $\mu$

Teorema Limit Pusat mengatakan bahwa ketika Anda mulai dengan distribusi apa pun - bukan hanya distribusi normal - yang memiliki varian terbatas, dan memainkan permainan yang sama dengan nilai iid dengan meningkat, Anda melihat hal yang sama: mean distribusi fokus di sekitar mean asli (Hukum Lemah Jumlah Besar), tetapi distribusi mean standar menyatu dengan distribusi Normal standar (Teorema Batas Tengah). $n$ $n$

— whuber
sumber

@whuber jawaban yang cukup bagus, saya akan menghargai beberapa penjelasan tentang apa yang kita pahami oleh Hukum Lemah Jumlah Besar.

— Subhash C. Davar

@subhash Lihat en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law .

— whuber