Bagaimana Anda menghitung ekspektasi ?

Jika didistribusikan secara eksponensial dengan parameter dan saling independen, apa harapan dari $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

dalam hal dan dan mungkin konstanta lainnya? $n$ $\lambda$

Catatan: Pertanyaan ini mendapatkan jawaban matematis di /math//q/12068/4051 . Para pembaca juga akan melihatnya.

expected-value exponential gamma-distribution

— Ishak
sumber

Dua salinan dari pertanyaan ini saling rujukan dan, secara tepat, situs statistik (di sini) memiliki jawaban statistik dan situs matematika memiliki jawaban matematika. Sepertinya pembagian yang bagus: biarkan saja!

— whuber

Jawaban:

Jika , maka (di bawah independensi), , maka adalah gamma yang didistribusikan (lihat wikipedia ). Jadi, kita hanya butuh . Karena , kita tahu bahwa . Oleh karena itu, (lihat wikipedia untuk harapan dan varian dari distribusi gamma). $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— Wolfgang
sumber

Terima kasih. Cara yang sangat rapi untuk menjawab pertanyaan (mengarah ke jawaban yang sama) juga diberikan pada math.stackexchange (tautan di atas dalam pertanyaan) beberapa menit yang lalu.

— Wolfgang

Jawaban matematika menghitung integral menggunakan linearitas harapan. Dalam beberapa hal lebih sederhana. Tapi saya suka solusi Anda karena mengeksploitasi pengetahuan statistik : karena Anda tahu sejumlah variabel Eksponensial independen memiliki distribusi Gamma, Anda selesai.

— whuber

Saya menikmatinya sedikit dan saya tidak berarti seorang ahli statistik atau ahli matematika.

— Kortuk

jawaban yang sangat elegan.

— Cyrus S

@Dilip Ahli matematika cenderung melihat pertanyaan ini sebagai meminta integral dan hasil langsung untuk mengintegrasikannya. Ahli statistik menyatakan kembali dalam hal jumlah statistik yang dikenal, seperti varians, dan hubungan statistik yang akrab, seperti bahwa Eksponensial adalah Gamma dan keluarga Gamma ditutup dalam konvolusi. Jawabannya sama tetapi pendekatannya sama sekali berbeda. Lalu ada pertanyaan tentang apa sebenarnya arti "melakukan integrasi". Sebagai contoh, integral yang rumit ini dilakukan sepenuhnya secara aljabar.

— whuber

Jawaban di atas sangat bagus dan sepenuhnya menjawab pertanyaan tetapi saya akan, sebaliknya, memberikan formula umum untuk kuadrat jumlah yang diharapkan dan menerapkannya pada contoh spesifik yang disebutkan di sini.

Untuk setiap set konstanta itu adalah fakta $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

ini benar oleh properti Distributive dan menjadi jelas ketika Anda mempertimbangkan apa yang Anda lakukan saat menghitung dengan tangan. $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

Oleh karena itu, untuk sampel variabel acak , terlepas dari distribusinya, $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

asalkan harapan ini ada.

Dalam contoh dari masalah, adalah iid variabel acak, yang memberi tahu kita bahwa dan untuk setiap . Dengan kemerdekaan, untuk , kita punya $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

Ada dari persyaratan ini dalam penjumlahan. Ketika , sudah $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

dan ada dari istilah ini dalam jumlah. Oleh karena itu, menggunakan rumus di atas, $n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

adalah jawaban anda

— Makro
sumber

Masalah ini hanyalah kasus khusus dari masalah 'momen momen' yang lebih umum yang biasanya didefinisikan dalam notasi jumlah daya. Secara khusus, dalam notasi jumlah daya:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

Kemudian, terlepas dari distribusi , poster asli mencari (asalkan momen ada). Karena operator ekspektasi hanyalah 1st Raw Moment, solusinya diberikan dalam perangkat lunak mathStatica oleh: $E[s_1^2]$

['___ToRaw' berarti kami menginginkan solusi yang disajikan dalam hal momen mentah dari populasi (daripada mengatakan momen sentral atau kumulan). ]

Akhirnya, jika ~ Eksponensial ( ) dengan pdf : $X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

maka kita dapat mengganti momen dalam solusi umum dengan nilai aktual untuk variabel acak Eksponensial, seperti: $\mu_i$ sol

Semua selesai.

PS Alasan solusi lain yang diposting di sini menghasilkan jawaban dengan dalam penyebut daripada pembilang, tentu saja, karena mereka menggunakan parameterisasi yang berbeda dari distribusi Eksponensial. Karena OP tidak menyatakan versi mana yang ia gunakan, saya memutuskan untuk menggunakan definisi buku teks teori distribusi standar Johnson Kotz et al ... hanya untuk menyeimbangkan semuanya :) $\lambda^2$

— serigala
sumber