Rasio jumlah Normal ke jumlah kubus Normal

12

Tolong bantu saya untuk menemukan distribusi terbatas (seperti ) dari yang berikut: di mana adalah iid . $n \rightarrow \infty$

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{X_{1}^{3} + X_{2}^{3} + \dots X_{n}^{3}},

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{X_1^3 + X_2^3 + \ldots X_n^3},$

X_{i}

$X_i$

N (0, 1)

$N(0,1)$

distributions normal-distribution asymptotics

— Arunangshu Biswas
sumber

1

Sudahkah Anda mencoba melihat transformasi variabel acak? Misalnya, seseorang dapat mencoba fungsi karakteristik, transformasi Laplace-Stieltjes, dan sebagainya.

— Stijn

1

Petunjuk: Pembilang dan penyebutnya adalah bivariat asimptotik normal. Anda dapat menghitung momen mereka secara langsung: berarti mereka jelas nol, varians pembilangnya adalah , varians penyebutnya adalah , dan kovariansnya adalah . (Dengan demikian korelasinya adalah .) Untuk menemukan distribusi pembatas, nyatakan setiap bivariat normal rata-rata nol dalam bentuk untuk nol independen -berarti normal dan dan konstanta , maka perhatikan bahwa rasio adalah distribusi Cauchy skala yang bergeser.

n

$n$

15 n

$15n$

3 n

$3n$

3 / \sqrt{15} \approx 0.775

$3/\sqrt{15} \approx 0.775$

(U, V)

$(U,V)$

(A, β A + B)

$(A, \beta A + B)$

A

$A$

B

$B$

β

$\beta$

V / U = β + B / A

$V/U = \beta + B/A$

— whuber

2

Jika formulasi adalah mana dan independen, itu hanya latihan buku teks klasik. Anda menggunakan fakta bahwa dan kita dapat menyimpulkan bahwa asimtot meningkatkan distribusi Cauchy.

U_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{Y_{1}^{3} + Y_{2}^{3} + \dots Y_{n}^{3}}

$U_n = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{Y_1^3 + Y_2^3 + \ldots Y_n^3}$

X_{i} \sim N (0, 1)

$X_i\sim N(0,1)$

Y_{i} \sim N (0, 1)

$Y_i \sim N(0,1)$

F_{n} \overset{d}{\to} F, G_{n} \overset{d}{\to} G \Rightarrow \frac{F_{n}}{G_{n}} \overset{d}{\to} \frac{F}{G}

$F_n \stackrel{d}{\to} F,\quad G_n \stackrel{d}{\to}G \Rightarrow \frac{F_n}{G_n} \stackrel{d}{\to} \frac{F}{G}$

U

$U$

Tetapi dalam formulasi Anda, kami tidak dapat menerapkan teorema karena ketergantungan. Monte-Carlo saya menyarankan bahwa batas distribusi adalah non-merosot dan tidak memiliki momen pertama dan tidak simetris. Saya akan tertarik pada apakah ada solusi eksplisit untuk masalah ini. Saya merasa solusinya hanya dapat ditulis dalam hal proses Wiener. $U_n$

[EDIT] Mengikuti petunjuk whuber, perhatikan itu

(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}, \frac{1}{\sqrt{n}} \sum X_{i}^{3}) \overset{d}{\to} (Z_{1}, Z_{2})

$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i},\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{X_i^3})\stackrel{d}{\to}(Z_1,Z_2)$ mana dengan mencatat bahwa dan . (momen standar normal, bahkan ) Kemudian dengan teorema pemetaan berkelanjutan, kita memiliki Memperhatikan bahwa kita dapat menulis mana dan independen dari , kami menyimpulkan bahwa dimana

(Z_{1}, Z_{2}) \sim N (0, (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 15 \end{matrix}))

$(Z_1,Z_2) \sim N(0,\pmatrix{1 &3 \\3 &15})$

E [X_{1}^{4}] = 3

$E[X_1^4]=3$

E [X_{1}^{6}] = 15

$E[X_1^6]=15$

(n - 1)!!

$(n-1)!!$

n

$n$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{Z_{1}}{Z_{2}}

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{Z_1}{Z_2}$

Z_{1} = \frac{1}{5} Z_{2} + \sqrt{\frac{2}{5}} Z_{3}

$Z_1 = \frac{1}{5}Z_2+\sqrt{\frac{2}{5}}Z_3$

Z_{3} \sim N (0, 1)

$Z_3\sim N(0,1)$

Z_{2}

$Z_2$

U_{n} \overset{d}{\to} \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{5}} \frac{Z_{3}}{Z_{2}} \equiv \frac{1}{5} + \sqrt{\frac{2}{75}} Γ

$U_n \stackrel{d}{\to} \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{5}}\frac{Z_3}{Z_2} \equiv \frac{1}{5}+\sqrt{\frac{2}{75}}\Gamma$

Γ \sim C a u c h y

$\Gamma \sim Cauchy$

— Julius
sumber

0

Beberapa komentar, bukan solusi lengkap. Ini terlalu lama untuk komentar, tetapi benar-benar hanya komentar Beberapa sifat solusinya. Karena adalah standar normal iid, yang merupakan distribusi simetris (sekitar nol), juga akan memiliki distribusi simetris, dan jumlah rv simetris (independen) akan simetris. Jadi ini adalah rasio dengan pembilang dan penyebut keduanya simetris, jadi akan simetris. Penyebut akan memiliki densitas kontinu yang positif pada nol, jadi kami akan mengharapkan rasio terhadap ekspektasi yang kurang (Ini adalah hasil umum bahwa jika adalah variabel acak dengan densitas kontinu positif pada nol, maka akan kekurangan ekspektasi . Lihat $X_i$ $X_i^3$ $Z$ $1/X$ Saya pernah mendengar bahwa rasio atau invers variabel acak seringkali bermasalah, karena tidak memiliki harapan. Mengapa demikian? ). Tapi di sini, ada ketergantungan antara pembilang dan penyebut yang memperumit masalah ... (Jelas perlu dipikirkan lebih lanjut di sini).

Makalah yang menarik https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176991795 menunjukkan bahwa atas, kubus variabel normal standar, memiliki distribusi tak tentu "dalam arti hamburger", yaitu, itu adalah tidak ditentukan oleh momennya! Jadi komentar di atas tentang menggunakan transformasi, mungkin menunjukkan cara yang sulit untuk melanjutkan! $x_i^3$

— kjetil b halvorsen
sumber