Bagaimana saya menghitung

Misalkan dan adalah fungsi kerapatan dan fungsi distribusi dari distribusi normal standar. $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

Bagaimana seseorang dapat menghitung integral:

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (\frac{w - a}{b}) ϕ (w) d w

$\int^{\infty}_{-\infty}\Phi\left(\frac{w-a}{b}\right)\phi(w)\,\mathrm dw$

mathematical-statistics normal-distribution integral

— hadisanji
sumber

Ini semua baik-baik saja Referensi awal untuk hasil yang lebih umum yang mencakup yang ini adalah Ellison (1964, J.Am.Stat.Assoc, 59, 89-95); lihat Corollary 1 of Theorem 2.

Jawaban:

Notasi yang lebih konvensional adalah

y (μ, σ) = \int Φ (\frac{x - μ}{σ}) ϕ (x) d x = Φ (\frac{- μ}{\sqrt{1 + σ^{2}}}) .

$y(\mu, \sigma) = \int\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\phi(x) dx = \Phi\left(\frac{-\mu}{\sqrt{1+\sigma^2}}\right).$

Ini dapat ditemukan dengan membedakan integral terhadap dan , menghasilkan integral elementer yang dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup: $\mu$ $\sigma$

\frac{\partial y}{\partial μ} (μ, σ) = - \frac{1}{\sqrt{2 π} \sqrt{σ^{2} + 1}} e^{- \frac{1}{2} \frac{μ^{2}}{σ^{2} + 1}},

$\frac{\partial y}{\partial \mu}(\mu, \sigma) = -\frac{1}{\sqrt{2 \pi } \sqrt{\sigma ^2+1}}e^{-\frac{1}{2}\frac{\mu ^2}{\sigma ^2+1}},$

\frac{\partial y}{\partial σ} (μ, σ) = \frac{μ σ}{\sqrt{2 π} {(σ^{2} + 1)}^{3 / 2}} e^{- \frac{1}{2} \frac{μ^{2}}{σ^{2} + 1}} .

$\frac{\partial y}{\partial \sigma}(\mu, \sigma) = \frac{\mu\sigma }{\sqrt{2 \pi } \left(\sigma ^2+1\right)^{3/2}}e^{-\frac{1}{2}\frac{\mu ^2}{\sigma ^2+1}}.$

Sistem ini dapat diintegrasikan, dimulai dengan kondisi awal = = , untuk mendapatkan solusi yang diberikan (yang mudah diperiksa oleh diferensiasi). $y(0,1)$ $\int\Phi(x)\phi(x)dx$ $1/2$

— whuber
sumber

Saya memeriksa ulang jawabannya melalui integrasi numerik dan menyusun rasio untuk

: kesepakatan adalah untuk sebelas angka penting di seluruh rentang ini.

- 2 \leq μ \leq 2

$-2 \le \mu \le 2$

0 < σ \leq 2

$0 \lt \sigma \le 2$

— Whuber

wow, solusi cerdas.

— Cam.Davidson.Pilon

Saya pikir ini bisa dilakukan hampir dengan inspeksi. Istilah pertama di bawah integral adalah variabel acak seragam [0,1]. Karena pdf normal simetris, integralnya harus

\frac{1}{2}

$1 \over 2$

— soakley

@soakley Pendekatan Anda berfungsi untuk

, tetapi tidak jelas bagaimana itu akan berlaku untuk argumen lain dari

y (0, 1)

$y(0,1)$

y

$y$

— whuber

@whuber Maaf karena tidak mengerti, tetapi begitu kita memiliki dua bentuk tertutup untuk turunan dan kondisi awal, bagaimana kita beralih dari sana ke solusi akhir? Dengan kata lain, apa yang Anda lakukan dengan ekspresi bentuk tertutup untuk turunan dan kondisi awal?

— user106860

$X$ $Y$ $X \sim N(a,b^2)$ $Y$

P {X \leq Y ∣ Y = w} = P {X \leq w} = Φ (\frac{w - a}{b}) .

$P\{X \leq Y \mid Y = w\} = P\{X \leq w\} = \Phi\left(\frac{w-a}{b}\right).$

P {X \leq Y} = \int_{- \infty}^{\infty} P {X \leq Y ∣ Y = w} ϕ (w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} Φ (\frac{w - a}{b}) ϕ (w) d w .

$P\{X \leq Y\} = \int_{-\infty}^\infty P\{X \leq Y \mid Y = w\}\phi(w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty \Phi\left(\frac{w-a}{b}\right)\phi(w)\,\mathrm dw.$

P {X \leq Y} = P {X - Y \leq 0}

$P\{X \leq Y\} = P\{X-Y \leq 0\}$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

X - Y \sim N (a, b^{2} + 1)

$X-Y \sim N(a,b^2+1)$

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (\frac{w - a}{b}) ϕ (w) d w = Φ (\frac{- a}{\sqrt{b^{2} + 1}})

$\int_{-\infty}^\infty \Phi\left(\frac{w-a}{b}\right)\phi(w)\,\mathrm dw = \Phi\left(\frac{-a}{\sqrt{b^2+1}}\right)$

— Dilip Sarwate
sumber

\begin{aligned} I (γ) & = \int_{- \infty}^{\infty} Φ (ξ x + γ) N (x | 0, σ^{2}) d x, \end{aligned}

$\begin{align*} I(\gamma) & =\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\xi x+\gamma)\mathcal{N}(x|0,\sigma^{2})dx, \end{align*}$

γ = - ξ μ

$\gamma=-\xi\mu$

I (γ)

$I(\gamma)$

I (0) = 0

$I(0)=0$

γ

$\gamma$

\begin{aligned} \frac{d I}{d γ} & = \int_{- \infty}^{\infty} N ((ξ x + γ) | 0, 1) N (x | 0, σ^{2}) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{1}{2} {(ξ x + γ)}^{2}) \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp (- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}) d x . \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{dI}{d\gamma} & =\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{N}((\xi x+\gamma)|0,1)\mathcal{N}(x|0,\sigma^{2})dx\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\xi x+\gamma\right)^{2}\right)\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\exp\left(-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}\right)dx. \end{align*}$

\begin{aligned} {(ξ x + γ)}^{2} + \frac{x^{2}}{σ^{2}} & = \underset{= a}{\underset{⏟}{(ξ^{2} + σ^{- 2})}} x^{2} + \underset{= b}{\underset{⏟}{- 2 γ ξ}} x + \underset{= c}{\underset{⏟}{γ^{2}}} \\ = a {(x - \frac{b}{2 a})}^{2} + (c - \frac{b^{2}}{4 a}) (c - \frac{b^{2}}{4 a}) \\ = γ^{2} - \frac{4 γ^{2} ξ^{2}}{4 (ξ^{2} + σ^{- 2})} \\ = γ^{2} (1 - \frac{ξ^{2}}{ξ^{2} + σ^{- 2}}) \\ = γ^{2} (\frac{1}{1 + ξ^{2} σ^{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} \left(\xi x+\gamma\right)^{2}+\frac{x^{2}}{\sigma^{2}} & =\underbrace{\left(\xi^{2}+\sigma^{-2}\right)}_{=a}x^{2}+\underbrace{-2\gamma\xi}_{=b}x+\underbrace{\gamma^{2}}_{=c} \\ &=a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^{2}+\left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right) \left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right)\\ & =\gamma^{2}-\frac{4\gamma^{2}\xi^{2}}{4\left(\xi^{2}+\sigma^{-2}\right)}\\ &=\gamma^{2}\left(1-\frac{\xi^{2}}{\xi^{2}+\sigma^{-2}}\right)\\ &=\gamma^{2}\left(\frac{1}{1+\xi^{2}\sigma^{2}}\right) \end{align*}$

\begin{aligned} \frac{d I}{d γ} & = \frac{1}{2 π σ} \exp (- \frac{1}{2} (c - \frac{b^{2}}{4 a})) \sqrt{\frac{2 π}{a}} \int_{- \infty}^{\infty} \sqrt{\frac{a}{2 π}} \exp (- \frac{1}{2} a {(x - \frac{b}{2 a})}^{2}) d x \\ = \frac{1}{2 π σ} \exp (- \frac{1}{2} (c - \frac{b^{2}}{4 a})) \sqrt{\frac{2 π}{a}} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2} a}} \exp (- \frac{1}{2} (c - \frac{b^{2}}{4 a})) \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π (1 + σ^{2} ξ^{2})}} \exp (- \frac{1}{2} \frac{γ^{2}}{1 + ξ^{2} σ^{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{dI}{d\gamma} & =\frac{1}{2\pi\sigma}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right)\right)\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\frac{a}{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^{2}\right)dx\\ & =\frac{1}{2\pi\sigma}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right)\right)\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}a}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(c-\frac{b^{2}}{4a}\right)\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi\left(1+\sigma^{2}\xi^{2}\right)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\gamma^{2}}{1+\xi^{2}\sigma^{2}}\right) \end{align*}$

\begin{aligned} I (γ) & = \int_{- \infty}^{γ} \frac{1}{\sqrt{2 π (1 + σ^{2} ξ^{2})}} \exp (- \frac{1}{2} \frac{z^{2}}{1 + ξ^{2} σ^{2}}) d z \\ = Φ (\frac{γ}{\sqrt{1 + ξ^{2} σ^{2}}}) \end{aligned}

$\begin{align*} I(\gamma) &=\int_{-\infty}^{\gamma}\frac{1}{\sqrt{2\pi\left(1+\sigma^{2}\xi^{2}\right)}}\exp\left(-\frac{1}{2}\frac{z^{2}}{1+\xi^{2}\sigma^{2}}\right)dz\\ &=\Phi\left(\frac{\gamma}{\sqrt{1+\xi^{2}\sigma^{2}}}\right) \end{align*}$

yang menyiratkan

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} Φ (ξ x) N (x | μ, σ^{2}) d x & = I (ξ μ) \\ = Φ (\frac{ξ μ}{\sqrt{1 + ξ^{2} σ^{2}}}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\Phi(\xi x)\mathcal{N}(x|\mu,\sigma^{2})dx &=I(\xi\mu)\\ &=\Phi\left(\frac{\xi\mu}{\sqrt{1+\xi^{2}\sigma^{2}}}\right). \end{align*}$

— Jenny Reininger
sumber