Jika semua mengikuti seragam diskrit independen di atas , maka karena ada nilai yang dapat dipilih dan rata-ratanya adalah 0, kami memiliki untuk semua : [ - n , n ] 2 n + 1 iXsaya[ - n , n ]2n+1i
E(Xi)=0 , dan
V(Xi)=E((Xi−E(Xi))2)=E(X2i)=(2n+1)2−112=n(n+1)3
Maka jika adalah norma vektor , dan karena independensi :( X 1 , X 2 , . . . X d ) X iS(X1,X2,...Xd)Xi
S=∑di=1X2i
E(S)=∑di=1E(X2i)=dn(n+1)3
Dari sini Anda dapat menggunakan ketidaksetaraan Markov:∀a>0,P(S≥a)≤1aE(S)
P(S≥a)≤dan(n+1)3
Batas ini naik dengan , yang normal karena ketika semakin besar norma euclidean semakin besar jika dibandingkan dengan ambang batas tetap .d adda
Sekarang jika Anda mendefinisikan sebagai norma kuadrat "dinormalisasi" (yang memiliki nilai harapan yang sama tidak peduli seberapa besar ) Anda dapatkan: dS∗d
S∗=1dY=1d∑di=1X2i
E(S∗)=n(n+1)3
P(S≥a)≤n(n+1)3a
Setidaknya batas ini tidak naik dengan , tetapi masih jauh dari menyelesaikan pencarian Anda untuk batas yang menurun secara eksponensial! Saya bertanya-tanya apakah ini bisa disebabkan oleh kelemahan ketimpangan Markov ...d
Saya pikir Anda harus tepat pertanyaan Anda, karena seperti yang dinyatakan di atas rata-rata norma euclidean vektor Anda naik secara linear dalam , jadi Anda sangat tidak mungkin menemukan batas atas untuk yang menurun dalam dengan ambang batas tetap .P ( S > a ) d adP(S>a)da