Varians pengembalian tahunan berdasarkan varians pengembalian bulanan

Saya mencoba memahami seluruh varian / kesalahan std dari serangkaian waktu pengembalian keuangan, dan saya pikir saya terjebak. Saya memiliki serangkaian data pengembalian stok bulanan (sebut saja ), yang memiliki nilai yang diharapkan 1,00795, dan varians 0,000228 (std. Dev adalah 0,01512). Saya mencoba menghitung kasus terburuk dari pengembalian tahunan (katakanlah nilai yang diharapkan dikurangi dua kali kesalahan standar). Jalan mana yang merupakan cara terbaik untuk melakukannya? A . Hitung untuk satu bulan ( \ mu_X-2 \ cdot \ sigma_X = 0,977 ), dan kalikan dengan sendiri 12 kali (= 0,7630 ). B . Dengan asumsi bulan adalah independen, tentukan Y = X \ cdot X \ cdot ... \ cdot X 12 kali, temukan nilai yang diharapkan E [Y] = (E [X]) ^ {12}$X$

$\mu_X-2\cdot \sigma_X=0.977$

E [ Y ] = ( E [ X ] ) $Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$$E[Y]=(E[X])^{12}$) dan varians $\operatorname{var}[Y]=(\operatorname{var}[X]+(E[X])^2)^{12} - ((E[X]^2)^{12}$ . Dev standar dalam kasus ini adalah 0,0572, dan nilai yang diharapkan minus dua kali std. Dev adalah 0,9853 .

C. Kalikan std bulanan dev dengan $\sqrt{12}$ untuk mendapatkan yang tahunan. Gunakan untuk menemukan kasus terburuk tahunan nilai ( $\mu - 2\cdot \sigma$ ). Keluar sebagai 0,9949 .

Mana yang benar? Apa cara yang tepat untuk menghitung nilai tahunan yang diharapkan dikurangi dua kali std. dev jika Anda mengetahui properti ini hanya untuk data bulanan ? (Secara umum - jika $Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$ 12 kali dan $\mu_X$ , $\sigma_X$diketahui, apa itu $\mu_Y-2\cdot \sigma_Y$ ?)

Jika Anda mendefinisikan pengembalian proporsional sebagai , di mana adalah harganya, itu tidak biasa dengan pengembalian harian untuk hanya mengalikan pengembalian proporsional dengan (jumlah kerja hari dalam setahun) dan standar deviasi oleh untuk menjadikannya tahunan. Hal ini terkait dengan kasus Anda C . Intinya di sini adalah untuk mengubah skala sehingga angka tahunan yang berarti dapat dilaporkan dari angka harian (tetapi Anda tidak akan menggunakannya untuk membandingkan secara ketat metrik yang diperoleh dari harian dengan yang berasal dari bulanan). Secara umum, Anda akan melakukan semua perhitungan Anda dan membuat semua keputusan Anda pada frekuensi Anda mengumpulkan data Anda (bulanan dalam kasus Anda). P 250 $\Delta P/P = (P_{t+1}-P_t)/P_t$$P$$250$$\sqrt{250}$

Pendekatan yang benar secara teoritis adalah dengan menggunakan pengembalian log = (menggunakan log natural). Rumus untuk ekspektasi jumlah variabel acak kemudian dapat digunakan dengan benar, karena jumlah pengembalian log adalah log dari produk pengembalian.$\log(P_{t+1}/P_t)$

Selain itu, jika Anda menggunakan pengembalian log, Teorema Limit Pusat memberikan beberapa justifikasi teoretis bahwa pengembalian log terdistribusi normal (pada dasarnya Teorema Limit Pusat mengatakan bahwa jumlah variabel independen cenderung ke distribusi normal karena jumlah variabel acak dalam jumlah meningkat ). Ini memungkinkan Anda untuk menetapkan probabilitas untuk melihat pengembalian kurang dari (probabilitas diberikan oleh fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi normal: . Jika pengembalian log terdistribusi normal, maka kami katakan bahwa pengembalian didistribusikan secara lognormal - ini adalah salah satu asumsi yang digunakan untuk mendapatkan formula penetapan harga opsi Black Scholes yang terkenal.Φ ( - 2 ) ≃ 0,023 $\mu - 2\sigma$$\Phi(-2) \simeq 0.023)$

Satu hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa ketika pengembalian proporsional kecil, maka pengembalian proporsional kira-kira sama dengan pengembalian log. Alasan untuk ini adalah bahwa deret Taylor untuk logaritma natural diberikan oleh , dan ketika pengembalian proporsional kecil, Anda dapat mengabaikan istilah dengan , , dll. Perkiraan ini memberikan sedikit kenyamanan bagi mereka yang memilih untuk bekerja dengan pengembalian proporsional dan mengalikan mean dengan dan standar deviasi oleh !x x 2 x 3 n $\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \ldots$$x$$x^2$$x^3$$n$$\sqrt{n}$

Anda harus dapat menemukan informasi lebih lanjut di web. Misalnya, saya mencoba mencari "pengembalian log" untuk menyegarkan ingatan saya, dan hit pertama sepertinya cukup bagus.

Apa yang Anda masukkan jika A salah. Dalam sisa posting Anda, Anda menggunakan fakta bahwa (i) ekspektasi jumlah variabel acak adalah jumlah harapan mereka, dan (ii) varians dari jumlah variabel acak independen adalah jumlah varians mereka. Dari (ii), dapat disimpulkan bahwa standar deviasi dari variabel acak bebas yang terdistribusi secara identik dengan standar deviasi adalah . Tapi dalam kasus A Anda telah dikalikan kedua berarti dan standar deviasi oleh , sedangkan kebutuhan rata-rata dikalikan dengan dan deviasi standar denganσ $n$$\sigma$$\sqrt{n}\sigma$σ X n n $\mu_X$$\sigma_X$$n$$n$$\sqrt{n}$.

Poin yang halus tetapi penting, seperti dicatat dalam komentar @ whuber, adalah bahwa aturan (ii) membutuhkan korelasi, yang dalam kasus deret waktu berarti tidak ada korelasi serial (biasanya benar tetapi patut diperiksa). Persyaratan untuk kemerdekaan berlaku dalam kasus pengembalian proporsional dan log.

(Saya belum pernah melihat kasus B , produk dari variabel acak, sebelumnya. Saya tidak berpikir pendekatan ini umum digunakan. Saya belum melihat secara rinci perhitungan Anda, tetapi angka Anda terlihat tepat, dan rumusnya bisa ditemukan di wikipedia . Menurut pendapat saya pendekatan ini tampaknya jauh lebih rumit daripada baik pendekatan yang terlibat dalam menggunakan kembali proporsional atau pendekatan teoritis suara menggunakan hasil log. Dan, dibandingkan dengan menggunakan hasil log, apa yang dapat Anda katakan tentang distribusi dari Y? Bagaimana Anda dapat menetapkan probabilitas untuk pengembalian kasus terburuk Anda, misalnya?)