Nilai statistik minimum order yang diharapkan dari sampel normal

UPDATE 25 Jan 2014: kesalahan sekarang diperbaiki Abaikan nilai terhitung dari Nilai yang Diharapkan pada gambar yang diunggah - salah - saya tidak menghapus gambar karena telah menghasilkan jawaban untuk pertanyaan ini.

UPDATE 10 Jan 2014: kesalahan ditemukan - salah ketik matematika di salah satu sumber yang digunakan. Mempersiapkan koreksi ...

Kepadatan statistik minimum order dari kumpulan variabel acak kontinu iid dengan cdf dan pdf adalah $n$ $F_X(x)$ $f_X(x)$

f_{X_{(1)}} (x_{(1)}) = n f_{X} (x_{(1)}) {[1 - F_{X} (x_{(1)})]}^{n - 1} [1]

$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$

Jika variabel acak ini standar normal, maka

f_{X_{(1)}} (x_{(1)}) = n ϕ (x_{(1)}) {[1 - Φ (x_{(1)})]}^{n - 1} = n ϕ (x_{(1)}) {[Φ (- x_{(1)})]}^{n - 1} [2]

$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$ sehingga nilai yang diharapkan adalah

E (X_{(1)}) = n \int_{- \infty}^{\infty} x_{(1)} ϕ (x_{(1)}) {[Φ (- x_{(1)})]}^{n - 1} d x_{(1)} [3]

$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$

di mana kami telah menggunakan properti simetris dari standar normal. Dalam Owen 1980 , hal.402, persamaan [ n, 011 ] kita menemukan bahwa

\int_{- \infty}^{\infty} z ϕ (z) {[Φ (a z)]}^{m} d z = \frac{a m}{(\sqrt{a^{2} + 1}) (\sqrt{2 π})} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (z) {[Φ (\frac{a z}{\sqrt{a^{2} + 1}})]}^{m - 1} d z [4]

$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$

Parameter yang cocok antara persamaan dan ( , ) kami dapatkan $[3]$ $[4]$ $a=-1$ $m=n-1$

E (X_{(1)}) = - \frac{n (n - 1)}{2 \sqrt{π}} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (x_{(1)}) {[Φ (\frac{- x_{(1)}}{\sqrt{2}})]}^{n - 2} d x_{(1)} [5]

$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$

Lagi di Owen 1980, hlm. 409, eq [ n0.010.2 ] kami menemukan itu

\int_{- \infty}^{\infty} [\prod_{i = 1}^{m} Φ (\frac{h_{i} - d_{i} z}{\sqrt{1 - d_{i}^{2}}})] ϕ (z) d z = Z_{m} (h_{1}, . . ., h_{m}; {ρ_{i j}}) [6]

$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$

di mana adalah multivariat standar normal, adalah koefisien korelasi pasangan-bijaksana dan . $\mathcal Z_m()$ $\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$ $-1\le d_i\le 1$

Cocok dengan dan kita miliki, , , dan $[5]$ $[6]$ $m=n-2$ $h_i=0,\;\forall i$

\frac{d_{i}}{\sqrt{1 - d_{i}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow d_{i} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \forall i \Rightarrow ρ_{i j} = ρ = 1 / 3

$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$

Dengan menggunakan hasil ini, eq menjadi $[5]$

E (X_{(1)}) = - \frac{n (n - 1)}{2 \sqrt{π}} Z_{n - 2} (0, . . ., 0; ρ = 1 / 3) [7]

$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$

Integral probabilitas normal multivaririate standar normal ini dari variabel yang berkorelasi sama, semua dievaluasi pada nol , telah melihat investigasi yang cukup, dan berbagai cara untuk memperkirakan dan menghitungnya telah diturunkan. Tinjauan luas (terkait dengan perhitungan integral probabilitas normal multivariat secara umum) adalah Gupta (1963) . Gupta memberikan nilai eksplisit untuk berbagai koefisien korelasi, dan hingga 12 variabel (sehingga mencakup koleksi 14 variabel). Hasilnya adalah (KOLOM TERAKHIR SALAH) :

masukkan deskripsi gambar di sini

Sekarang jika kita membuat grafik bagaimana nilai berubah dengan , kita akan memperoleh $\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$ $n$

masukkan deskripsi gambar di sini

Jadi saya sampai pada tiga pertanyaan / permintaan saya:
1) Bisakah seseorang memeriksa secara analitik dan / atau memverifikasi dengan simulasi bahwa hasil untuk nilai yang diharapkan sudah benar (yaitu memeriksa validitas persamaan )? $[7]$

2) Dengan asumsi bahwa pendekatannya benar, dapatkah seseorang memberikan solusi untuk normals dengan varian non-zero mean dan non-unitary? Dengan semua transformasi saya merasa sangat pusing.

3) Nilai integral probabilitas tampaknya berkembang dengan lancar. Bagaimana kalau kira-kira dengan beberapa fungsi ? $n$

— Alecos Papadopoulos
sumber

Hasil Anda tidak terlihat benar. Ini mudah dilihat, tanpa perhitungan apa pun, karena dalam tabel Anda, meningkat dengan ukuran sampel ; jelas, nilai yang diharapkan dari minimum sampel harus semakin kecil (yaitu menjadi lebih negatif) karena ukuran sampel semakin besar. $E[X_{(1)}]$ $n$ $n$

Masalahnya secara konsep cukup mudah.

Singkatnya: jika ~ dengan pdf : $X$ $N(0,1)$ $f(x)$

... maka pdf statistik urutan pertama (dalam sampel ukuran ) adalah: $n$

... diperoleh di sini menggunakan OrderStatfungsi dalam mathStatica, dengan domain dukungan:

Kemudian, , untuk dapat dengan mudah diperoleh persis seperti: $E[X_{(1)}]$ $n = 1,2,3$

Tepat kasus adalah sekitar , yang jelas berbeda dengan kerja Anda dari -1,06 (baris 1 dari Table Anda), sehingga tampaknya sesuatu yang jelas yang salah dengan kerja Anda (atau mungkin pemahaman saya tentang apa yang Anda cari) . $n = 3$ $-0.846284$

Untuk , mendapatkan solusi bentuk tertutup lebih rumit, tetapi bahkan jika integrasi simbolis terbukti sulit, kami selalu dapat menggunakan integrasi numerik (untuk presisi sewenang-wenang jika diinginkan). Ini sangat mudah ... di sini, misalnya, adalah , untuk ukuran sampel hingga 14, menggunakan Mathematica : $n \ge 4$ $E[X_{(1)}]$ $n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62923, -1.66799, -1.70338}

Semua selesai. Nilai-nilai ini jelas sangat berbeda dengan yang ada di tabel Anda (kolom kanan).

Untuk mempertimbangkan kasus yang lebih umum dari orangtua , lanjutkan persis seperti di atas, dimulai dengan pdf Normal umum. $N(\mu, \sigma^2)$

— serigala
sumber

Terima kasih atas jawabannya. Memang saya telah melihat bahwa ada yang salah dengan hasil numerik - setelah semua, nilai yang diharapkan harus meningkat dalam ukuran absolut, daripada menurun, karena bertambah. Saya meninggalkan jawabannya apa adanya, untuk melihat apakah saya bisa mendapatkan wawasan dari jawaban apa pun. Saya masih mencari di tingkat teoritis di mana tepatnya adalah kesalahan, tersangka menjadi penggunaan persamaan saya pertama dari Owen (karena kedua telah diverifikasi oleh sumber lain) ... by the way, bisa Anda memeriksa apakah eq ini di posting saya (sebagai transformasi yang berdiri sendiri) benar? Saya akan berterima kasih.

n

$n$

4

$4$

— Alecos Papadopoulos