Untuk variabel acak kontinu, mengapa

Buku teks saya menempatkan ini di sidebox dengan tajuk "Note" dan tidak menjelaskan alasannya. Bisakah Anda memberi tahu saya mengapa pernyataan ini berlaku?

$P(a < Z < b) = P(a \leq Z < b) = P(a < Z \leq b) = P(a \leq Z \leq b)$

probability mathematical-statistics continuous-data

— Orang
sumber

Seseorang hampir dapat mengambil pernyataan ini sebagai definisi "berkelanjutan". Lalu, apa definisi Anda tentang variabel acak kontinu?

— Whuber

Untuk variabel acak kontinu, apa itu dan ?

P (Z = a)

$P(Z=a)$

P (Z = b)

$P(Z=b)$

— Glen_b -Reinstate Monica

The artikel Wikipedia pada distribusi probabilitas melakukan pekerjaan yang cukup baik untuk menjelaskan ini. Pada akhirnya itu memunculkan fakta bahwa CDF adalah kontinu, di mana probabilitas setiap titik harus nol.

— whuber

Jawaban:

Tidak ada yang formal untuk ditambahkan ke ini, tetapi analogi yang benar-benar membantu saya untuk memahami ini berasal dari teks kalkulus. Bayangkan Anda memiliki pipa besi dengan panjang dan berat tertentu. Dan Anda ingin memotongnya menjadi dua bagian. Jika panjang pipa adalah 1 m, Anda mungkin ingin memotongnya menjadi setengahnya pada tanda 0,5. Sekarang pikirkan berat pipa sebagai beberapa kali konstan panjang pipa, (kami berasumsi bahwa semua penampang dengan panjang yang sama memiliki berat yang sama).

Memotong pipa menjadi setengah pada tanda 0,5 m - berapa berat yang Anda turunkan? Ingatlah bahwa satu-satunya bagian melintang yang Anda hapus adalah tanda 0,5 m itu sendiri. Jadi berapa panjang penampang ini? Pertimbangkan bahwa 0.49999999 ... tidak terpisah darinya, dan tidak ada 0,5000000000 ... 1, atau titik lain yang dekat, tetapi tidak sama dengan 0,5 - sehingga panjang penampang ini secara teknis nol. Yang berarti Anda tidak benar-benar menghilangkan berat sama sekali.

Ini akan menjelaskan mengapa dan pada dasarnya sama untuk variabel kontinu - termasuk atau mengecualikan titik akhir benar-benar tidak mengubah apa pun - untuk setiap titik yang Anda pilih dekat dengan titik akhir, masih ada jumlah poin yang tak terbatas di antara mereka. $\leq$ $<$

Apakah ini masuk akal?

— ltronneberg
sumber

Pertama saya akan memberikan definisi (benar-benar) variabel acak kontinu . $Z$

(Probabilitas lanjutan diperlukan, Anda banyak melewatkannya!)

Biarkan menjadi ruang probabilitas dan biarkan menjadi vektor acak. Probabilitas pada didefinisikan oleh , disebut distribusi . Sekarang jika mana adalah ukuran Lebesgue pada , (yaitu benar - benar kontinu terhadap ) maka kita mengatakan bahwa adalah vektor acak kontinu (mutlak). Sekarang dengan menggunakan teorema Radon-Nikodym $(\Omega,F, P)$ $Z:\Omega\rightarrow R^n$ $P_X$ $B(R^n)$ $P_Z(A)=P\{Z\in A\}$ $A \in B(R^n)$ $Z$ $P_Z\ll \mu,$ $\mu$ $R^n$ $P$ $\mu$ $Z$ , ada fungsi sehingga untuk semua . Kami menyebutnya fungsi kepadatan . $f: R^n\to[0,+\infty]$ $P_Z(A)=\int_{A}fd_{\mu}$ $A \in B(R^n)$ $f$ $Z$

Sekarang tentukan fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari variabel acak benar-benar kontinu sebagai: $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) .

$F_Z(z)=P(Z\leq z).$

Sebelum saya memberikan bukti formal, mari kita memiliki contoh variabel acak kontinu yang terdistribusi secara merata yaitu dengan fungsi kerapatan probabilitas untuk dan 0 sebaliknya. Sekarang mari kita cari . Kami memilikiKita dapat mengecilkan interval itu untuk mendapatkan perkiraan yang lebih baik sebagai berikut:Seperti yang Anda lihat, probabilitas ini konvergen ke nol saat kami mengecilkan panjang interval. Sekarang mari kita buktikan secara formal. Saya akan menunjukkan bahwa untuk setiap variabel acak kontinu $f(z)=1$ $0\leq z \leq 1$ $P(z=0.5)$

P (z = 0.5) \sim P (0.4 < z \leq 0.6) = \int_{0.4}^{0.6} f (z) d_{z} = 0.2.

$P(z=0.5)\sim P(0.4< z\leq 0.6)=\int_{0.4}^{0.6}f(z)d_z=0.2.$

P (z = 0.5) \sim P (0.49 < z \leq 0.51) = \int_{0.49}^{0.51} f (z) d_{z} = 0.02,

$P(z=0.5)\sim P(0.49< z\leq 0.51)=\int_{0.49}^{0.51}f(z)d_z=0.02,$

P (z = 0.5) \sim P (0.499 < z \leq 0.501) = \int_{0.499}^{0.501} f (z) d_{z} = 0.002.

$P(z=0.5)\sim P(0.499< z\leq 0.501)=\int_{0.499}^{0.501}f(z)d_z=0.002.$

Z

$Z$ , kita memiliki: dengan menggunakan CDF. karena fungsi CDF, , adalah fungsi "terus menerus" untuk terus menerus variabel acak . Demikian pula . Akhirnya perhatikan bahwaJadiAnda bisa menggunakan argumen yang sama untuk persamaan lainnya.

P (Z = a) = 0,

$P(Z=a)=0,$

P (Z = a) = lim_{ϵ \to 0} P (a - ϵ < Z \leq a + ϵ) = lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a + ϵ) - lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a - ϵ) = F_{Z} (a) - F_{Z} (a) = 0,

$P(Z=a)=\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon< Z\leq a+\epsilon)=\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a+\epsilon)-\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a-\epsilon)\\=F_Z(a)-F_Z(a)=0,$

F

$F$

Z

$Z$

P (Z = b) = 0

$P(Z=b)=0$

P (A ⋃ B) = P (A) + P (B) - P (A ⋂ B) .

$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B).$

P (a \leq Z < b) = P ({Z = a} ⋂ {a < Z < b}) = P (Z = a) + P (a < Z < b) = 0 + P (a < Z < b) = P (a < Z < b) .

$P(a\leq Z<b)=P\Big(\{Z=a\}\bigcap \{a<Z<b\}\Big)=P(Z=a)+P(a<Z<b)\\=0+P(a<Z<b)=P(a<Z<b).$

— Stat
sumber

Tampaknya argumen ini akan berlaku sama baiknya untuk setiap distribusi diskrit dengan sekumpulan nilai yang mungkin tak terhingga jumlahnya, tetapi kemudian kesimpulannya jelas salah, jadi ada masalah.

— Whuber

Alangkah baiknya jika Anda dapat menunjukkan kepada kami bagaimana "kesimpulannya jelas salah" ...

— Stat

Dalam distribusi diskrit - bahkan satu (seperti Poisson atau Negative Binomial) dengan dukungan yang tak terhingga - setiap nilai memiliki probabilitas nol, sedangkan argumen Anda menyiratkan semuanya memiliki probabilitas nol.

— whuber

Saya mengubah jawaban saya.

— Stat

Saya tidak setuju dengan pernyataan Anda bahwa menjadi fungsi kontinu kanan memberi kita bahwaHasil yang diinginkan membutuhkan kiri-kontinuitas dari , yang tentu saja memegang sejak adalah baik benar-terus menerus dan kiri-menerus untuk terus menerus variabel acak . Juga, Anda akan menggunakan fakta bahwa probabilitas adalah fungsi set-terus menerus ketika Anda menghitung dan menegaskan bahwa itu adalah sama dengan .

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a - ϵ) = F_{Z} (a) .

$\lim_{\epsilon \to 0} F_Z(a-\epsilon) = F_Z(a).$

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

Z

$Z$

lim_{ϵ \to 0} P (a - ϵ < Z \leq a + ϵ)

$\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon < Z \leq a+\epsilon)$

P {lim_{ϵ \to 0} (a - ϵ < Z < a + ϵ)}

$P\{\lim_{\epsilon\to 0} (a-\epsilon<Z<a+\epsilon)\}$

— Dilip Sarwate

-1

Mungkin penjelasan yang lebih intuitif adalah bahwa untuk variabel kontinu kontribusi tepi (misalnya, atau ) terhadap probabilitas kumulatif dalam interval sekitarnya (atau semi-interval) sangat kecil. $a$ $b$

— Itamar
sumber