Mengapa uji-F dalam model linier Gaussian paling kuat?

Untuk model linier Gaussian mana diasumsikan terletak pada ruang vektor dan memiliki distribusi normal standar pada , statistik untuk mana adalah ruang vektor, adalah fungsi satu-ke-satu yang meningkat dari statistik penyimpangan : Bagaimana kita bisa tahu bahwa statistik ini menyediakan tes paling kuat untuk $Y=\mu+\sigma G$ $\mu$ $W$ $G$ $\mathbb{R}^n$ $F$ $H_0\colon\{\mu \in U\}$ $U \subset W$

f = ϕ (2 \log \frac{sup_{μ \in W, σ > 0} L (μ, σ | y)}{sup_{μ \in U, σ > 0} L (μ, σ | y)}) .

$f=\phi\left( 2\log \frac{\sup_{\mu \in W, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)}{\sup_{\mu \in U, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)} \right).$

H_{0}

$H_0$ (mungkin setelah membuang kasus-kasus tertentu yang tidak biasa)? Ini tidak berasal dari teorema Neyman-Pearson karena teorema ini menegaskan bahwa uji rasio kemungkinan adalah yang paling kuat untuk hipotesis titik

H_{0} : {μ = μ_{0}, σ = σ_{0}}

$H_0\colon\{\mu=\mu_0, \sigma=\sigma_0\}$ dan

H_{1} : {μ = μ_{1}, σ = σ_{1}}

$H_1\colon\{\mu=\mu_1,\sigma=\sigma_1\}$ .

— Stéphane Laurent
sumber

Keluarga MLR dan Teorema Karlin-Rubin mungkin relevan di sini.

— whuber

Anda dapat menulis ulang

H_{0} : μ \in U

$H_0: \mu\in U$ menjadi bentuk seperti

H_{0} : δ = 0

$H_0:\delta=\mathbf 0$ (terhadap alternatif yang bukan 0). Pada dasarnya,

δ

$\delta$ akan berada dalam subruang hasil bagi yang sesuai

W / U

$W/U$

— Glen_b -Reinstate Monica

@ Glen_b Dan kemudian Anda maksudkan bahwa teorema Neyman-Pearson memberikan kesimpulan?

— Stéphane Laurent

Saya jauh dari ahli dalam materi ini, dan mungkin akan ada sesuatu yang penting yang saya lewatkan, tetapi saya pikir makalah Neyman & Pearson membahas hipotesis yang mencakup parameter yang tidak ditentukan selain yang ada dalam tes; itu mungkin layak untuk dilihat.

— Glen_b -Reinstate Monica

Dear @ StéphaneLaurent: Kami tidak dapat mengetahui hal ini karena itu tidak benar.

— kardinal

Saya telah mengikuti pertanyaan ini selama beberapa waktu, berharap bahwa seseorang dengan wawasan yang lebih dalam dalam teori tes klasik dapat menjelaskan mengapa uji- tidak seragam paling kuat secara umum seperti yang ditulis @ cardinal dalam komentar. Adalah cerita rakyat bahwa uji seragam yang paling kuat hanya dapat benar-benar dibangun untuk hipotesis satu sisi pada parameter univariat, tetapi komentar semacam itu tidak benar-benar menjawab pertanyaan. $F$ $-$

Contoh 5.5 dalam Statistik Teoretis oleh Cox dan Hinkley menunjukkan bahwa uji- adalah tes serupa yang paling kuat untuk rata-rata univariat dengan varian yang tidak diketahui. Dengan mengacu pada teknik-teknik dalam The Analysis of Variance oleh Scheffé, contoh yang sama mengklaim bahwa uji- hipotesis pada satu parameter dalam kasus multivariat masih merupakan uji serupa yang paling kuat secara seragam dengan parameter yang tersisa dan varians sebagai parameter gangguan. Ketika kodimensi adalah 1, uji- setara dengan uji- . $t$ $t$ $U$ $F$ $t$

Contoh 5.20, masih dalam Cox dan Hinkley, mempertimbangkan ANOVA satu arah. Ini berpendapat bahwa dalam kasus dengan setidaknya tiga kelompok tidak ada tes serupa yang paling kuat dari hipotesis bahwa tidak ada perbedaan antara kelompok. Hal ini memberikan bahan-bahan untuk menunjukkan bahwa -test tidak seragam paling kuat, karena alternatif tertentu ada yang lebih kuat -tests. Namun, uji adalah uji invarian yang paling kuat dan seragam . $F$ $t$ $F$

Jadi, apa artinya mirip dan tidak berubah ? Urutan bersarang dari daerah kritis untuk pengujian ukuran disebut serupa jika probabilitas penolakan berdasarkan hipotesis adalah (untuk semua pilihan kemungkinan parameter gangguan). Tes ini invarian jika wilayah kritis invarian di bawah sekelompok transformasi. Untuk ANOVA satu arah, kelompok ini adalah kelompok transformasi ortogonal. Saya sarankan membaca Bab 5 di Cox dan Hinkley untuk lebih jelasnya. Lihat juga Bagian 2.10 dalam buku Scheffé tentang sifat-sifat optimal uji- . $\alpha \in [0,1]$ $\alpha$ $F$

— NRH
sumber