Apa tujuan dari fungsi karakteristik?

37

Saya berharap bahwa seseorang dapat menjelaskan, dalam istilah awam, apa fungsi karakteristik dan bagaimana fungsi itu digunakan dalam praktik. Saya sudah membaca bahwa itu adalah transformasi Fourier dari pdf, jadi saya kira saya tahu apa itu, tapi saya masih tidak mengerti tujuannya. Jika seseorang dapat memberikan deskripsi intuitif tentang tujuannya dan mungkin contoh bagaimana biasanya digunakan, itu akan fantastis!

Hanya satu catatan terakhir: Saya telah melihat halaman Wikipedia , tetapi tampaknya terlalu padat untuk mengerti apa yang sedang terjadi. Apa yang saya cari adalah penjelasan yang bisa dipahami oleh seseorang yang tidak tenggelam dalam keajaiban teori probabilitas, kata seorang ilmuwan komputer.

probability mathematical-statistics characteristic-function

— Nick
sumber

47

Kembali pada hari itu, orang menggunakan tabel logaritma untuk mengalikan angka lebih cepat. Kenapa ini? Logaritma mengonversi multiplikasi ke penjumlahan, karena . Jadi untuk mengalikan dua angka besar dan , Anda menemukan logaritma mereka, menambahkan logaritma, , dan kemudian mencari di tabel lain. $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ $a$ $b$ $z = \log(a) + \log(b)$ $\exp(z)$

Sekarang, fungsi karakteristik melakukan hal serupa untuk distribusi probabilitas. Misalkan memiliki distribusi dan memiliki distribusi , dan dan bersifat independen. Maka distribusi adalah konvolusi dari dan , . $X$ $f$ $Y$ $g$ $X$ $Y$ $X+Y$ $f$ $g$ $f * g$

Sekarang fungsi karakteristik adalah analogi dari "trik tabel logaritma" untuk konvolusi, karena jika adalah fungsi karakteristik , maka hubungan berikut berlaku: $\phi_f$ $f$

ϕ_{f} ϕ_{g} = ϕ_{f * g}

$\phi_f \phi_g = \phi_{f * g}$

Lebih jauh, juga seperti dalam kasus logaritma, mudah untuk menemukan kebalikan dari fungsi karakteristik: mengingat mana adalah kepadatan yang tidak diketahui, kita dapat memperoleh dengan transformasi Fourier terbalik . $\phi_h$ $h$ $h$ $\phi_h$

Fungsi karakteristik mengubah konvolusi menjadi multiplikasi untuk fungsi densitas dengan cara yang sama seperti logaritma mengubah multiplikasi menjadi penjumlahan untuk angka. Kedua transformasi mengubah operasi yang relatif rumit menjadi operasi yang relatif sederhana.

— charles.y.zheng
sumber

22

Item-item lain yang layak disebutkan: (a) Pemulihan momen melalui diferensiasi, (b) fakta bahwa semua distribusi memiliki fungsi karakteristik (dibandingkan dengan fungsi-fungsi yang menghasilkan momen), (c) Korespondensi satu-ke-satu (pada dasarnya) antara distribusi dan fungsi karakteristiknya, dan (d) fakta bahwa banyak distribusi yang relatif umum telah mengetahui fungsi karakteristik tetapi tidak diketahui ekspresi untuk densitas (mis. distribusi stabil Levy).

— kardinal

3

Komentar bagus, @ cardinal. Harap pertimbangkan untuk mengubahnya menjadi balasan yang sebenarnya.

— whuber

Bagi Anda yang memahami topik ini, apakah ini semua terkait dengan Karakteristik Persamaan, seperti yang digunakan dengan hubungan perulangan (yaitu dalam Matematika Beton Knuth)? Dugaan saya adalah bahwa mereka sangat berbeda dan hanya berbagi kata "karakteristik" secara kebetulan, tetapi saya pikir saya akan bertanya.

— Wayne

@Wayne, Anda harus memposting ini sebagai pertanyaan. Saya pikir ada hubungan yang erat: Fungsi karakteristik muncul dari Transform Fourier, yang merupakan Transform Gelfand terkait dengan distribusi pada garis nyata. Persamaan Karakteristik dari relasi rekurensi tampaknya muncul dari fungsi yang menghasilkan probabilitas, yaitu Transformasi Gelfand yang terkait dengan bilangan asli. Variabel dalam hubungan rekurensi dapat dianggap sebagai mengambil nilai pada langkah waktu diskrit, yaitu bilangan alami.

— kepala pelayan

@Wayne ... Jadi saya pikir operator yang mengambil variabel dalam hubungan perulangan dengan persamaan karakteristiknya dapat dianggap sebagai "Transformasi Fourier" terkait dengan distribusi pada bilangan asli. Saya mencari dan tidak menemukan pertanyaan ini tetapi saya akan sangat tertarik untuk melihat jawaban jika Anda mempostingnya.

— kepala pelayan

6

@ charles.y.zheng dan @ cardinal memberikan jawaban yang sangat baik, saya akan menambahkan dua sen saya. Ya fungsi karakteristik mungkin terlihat seperti komplikasi yang tidak perlu, tetapi itu adalah alat yang ampuh yang dapat memberi Anda hasil. Jika Anda mencoba untuk membuktikan sesuatu dengan fungsi distribusi kumulatif, selalu disarankan untuk memeriksa apakah tidak mungkin untuk mendapatkan hasil dengan fungsi karakteristik. Ini terkadang memberikan bukti yang sangat singkat.

Meskipun pada awalnya fungsi karakteristik terlihat sebagai cara yang tidak intuitif untuk bekerja dengan distribusi probabilitas, ada beberapa hasil yang kuat terkait langsung dengan itu, yang menyiratkan bahwa Anda tidak dapat membuang konsep ini sebagai hiburan matematis belaka. Sebagai contoh, hasil favorit saya dalam teori probabilitas adalah bahwa setiap distribusi yang dapat dibagi tak terhingga memiliki representasi unik Lévy-Khintchine . Dikombinasikan dengan fakta bahwa distribusi tak terhingga yang tak terhingga adalah satu-satunya distribusi yang mungkin untuk batas jumlah variabel acak independen (tidak termasuk kasus aneh), ini adalah hasil mendalam yang menggunakan teorema batas pusat yang diturunkan.

— mpiktas
sumber

3

Tujuan dari fungsi karakteristik adalah bahwa mereka dapat digunakan untuk memperoleh sifat-sifat distribusi dalam teori probabilitas. Jika Anda tidak tertarik dengan derivasi tersebut, Anda tidak perlu belajar tentang fungsi karakteristik.

— onestop
sumber

Saya kira saya mungkin tertarik pada derivasi seperti itu - saya hanya tidak mengerti mengapa kita harus pergi ke fungsi karakteristik? Mengapa lebih mudah daripada berurusan langsung dengan pdf / cdf?

— Nick

1

ℏ

$\hbar$

Kita tidak perlu menggunakannya. Saya hanya mengatakan bahwa mereka dapat digunakan. Terkadang mereka memberikan derivasi yang lebih cepat, terkadang mereka tidak membantu sama sekali. Apakah derivasi adalah 'lebih mudah' tergantung pada apa yang sudah Anda ketahui - jika Anda belum tahu tentang fungsi karakteristik itu tidak akan lebih mudah. Dalam beberapa kasus, fungsi menghasilkan momen memberikan alternatif, dan memiliki interpretasi yang lebih langsung.

— onestop

2

Fungsi karakteristik adalah transformasi Fourier dari fungsi kepadatan distribusi. Jika Anda memiliki intuisi mengenai transformasi Fourier, fakta ini mungkin mencerahkan. Cerita umum tentang transformasi Fourier adalah bahwa mereka menggambarkan fungsi 'dalam ruang frekuensi.' Karena kepadatan probabilitas biasanya unimodal (setidaknya di dunia nyata, atau dalam model yang dibuat tentang dunia nyata), ini tampaknya tidak terlalu menarik.

— shabbychef
sumber

1

Catatan : Editor potensial mengklaim bahwa "fungsi karakteristik adalah transformasi Fourier terbalik ".

— gung - Reinstate Monica

-1

Transformasi Fourier adalah dekomposisi fungsi (non-periodik) dalam frekuensinya. Interpretasi untuk kepadatan?

Transformasi Fourier adalah versi kontinu dari deret Fourier karena tidak ada kepadatan yang periodik tanpa ekspresi seperti "deret karakteristik".

— niko schmith
sumber