Seberapa besar varian dari treewidth dari grafik acak dalam G (n, p)?

Saya mencoba untuk menemukan seberapa dekat dan sebenarnya, ketika dan adalah konstanta yang tidak bergantung pada n (jadi ). Perkiraan saya adalah whp, tetapi saya belum dapat membuktikannya. $tw(G)$ $E[tw(G)]$ $G \in G(n,p=c/n)$ $c>1$ $E[tw(G)] = \Theta(n)$ $tw(G) \leq E[tw(G)] + o(n)$

— Kostas
sumber

Apa motivasi untuk pertanyaan itu? (yaitu mengapa tertarik pada masalah ini?)

— Kaveh

Yah ... saya bertanya-tanya berapa banyak pengetahuan tentang beberapa tepi dapat mempengaruhi estimasi treewidth (pengetahuan tentang keberadaan masing-masing tepi dapat mempengaruhi treewidth oleh paling banyak satu), dan itu membawa saya ke pertanyaan ini (yang jauh lebih menarik)

— Kostas

Secara khusus, ini memiliki implikasi untuk batas atas penghitungan model dalam rezim yang memuaskan untuk instance acak SAT (dan kuantum-SAT), dalam fase grafik Erdos-Renyi acak yang memiliki komponen terhubung yang besar. Sejauh kita peduli tentang SAT acak sebagai topik ilmu komputer teoretis, dan juga pendekatan yang melibatkan treewidth untuk membatasi kompleksitas #SAT dan masalah serupa, pertanyaan ini bermotivasi baik.

— Niel de Beaudrap

Anda tidak perlu menghitung varians untuk membuktikan konsentrasi tw (G (n, p)) di sekitar ekspektasinya. Jika dua grafik G 'dan G berbeda oleh satu titik maka treewidth mereka berbeda paling banyak satu. Anda dapat menggunakan metode standar, ketidaksetaraan Hoeffding-Azuma yang diterapkan pada Martingale eksposur sudut untuk menunjukkan, misalnya,

$\mathbb{P}( | tw(G(n,p)) - \mathbb{E} tw(G(n,p))| > t) \le 3 e^{- t^2/(2 n)}$ ,

jadi probabilitas di atas cenderung ke 0, jika, katakanlah . $t = n^{0.51}$

Metode pertama kali diterapkan untuk membuktikan konsentrasi untuk bilangan kromatis . Lihat B. Bollobás, Grafik acak. Springer New York, 1998, halaman 298. $G(n,p)$

— Valentas
sumber