Menghasilkan suatu titik dalam sebuah polytope rasional diberi sebuah titik dalam

Pertimbangkan polytope rasional yang didefinisikan dengan cara oracle pemisahan. Yaitu, dapat digambarkan secara implisit sebagai , tetapi karena adalah sangat besar, kami menggunakan oracle, yang diberi titik , baik kata atau kembali setengah-ruang sehingga .P P = { x ∈ R k : A x ≤ b , A ∈ Z m × k , b ∈ Z m } m x ∈ R k x ∈ P x ∉ $P$$P$$P = \{x \in R^k: Ax \leq b, A \in Z^{m \times k}, b \in Z^m \}$$m$$x \in R^k$$x \in P$$x \notin S$

Tujuan saya adalah menemukan titik di atau menentukan bahwa kosong. Aku bertujuan untuk waktu yang berjalan polinomial dalam ukuran representasi dari dan , di mana adalah nilai absolut terbesar di . Artinya, algoritma harus membuat hanya banyak panggilan polinomial ke oracle pemisahan.P U k U $P$$P$$U$$k$$U$$A$

Secara umum, mungkin terkandung dalam bidang hyper-dimensi yang lebih rendah dan dengan demikian itu bermasalah untuk menggunakan metode ellipsoid. Jadi, seperti dalam trik Khachiyan, saya alter (dan oracle pemisahan) untuk menggunakan , di mana adalah sesuatu seperti . Secara intuitif, setengah spasi yang mendefinisikan adalah sama dengan yang mendefinisikan hanya bahwa mereka diterjemahkan oleh . Polytope memiliki sifat berikut: kosong jika kosong, dan jika tidak kosong,P P ϵ ϵ 1 / U P ϵ P ϵ P ϵ P ϵ P P P $P$$P$$P^\epsilon$$\epsilon$$1/U$$P^\epsilon$$P$$\epsilon$$P^\epsilon$$P^\epsilon$$P$$P$$P^\epsilon$ adalah dimensi penuh.

Pertanyaan saya adalah sebagai berikut: Asumsikan algoritma menemukan titik . Apakah mungkin untuk menghasilkan titik dalam menggunakan ? P $p \in P^\epsilon$$P$$p$

Dari sembarang pilihan polytope dalam , , dan titik dalam adalah mungkin untuk menemukan polytope dalam , bersama-sama dengan penyisipan ke , sedemikian sehingga berada dalam jarak Hausdorff dari (gambar yang disematkan) dan semacamnya bahwa (gambar yang disematkan) milik . Untuk melakukan ini, cukup buat sisiR k ε q R k P R k + 1 R k R k + 1 P ε P q P ε P R k ε R k + 1 R k $P$${\mathbb R}^k$$\epsilon$$q$${\mathbb R}^k$$\hat P$${\mathbb R}^{k+1}$${\mathbb R}^k$${\mathbb R}^{k+1}$$\hat P$$\epsilon$$P$$q$$\hat P^\epsilon$$\hat P$hampir sejajar dengan gambar tertanam , sehingga menerjemahkannya dengan di menyebabkan persimpangan dengan untuk menjauh dari dengan jarak yang jauh lebih besar.${\mathbb R}^k$$\epsilon$${\mathbb R}^{k+1}$${\mathbb R}^k$$\hat P$

Karena sewenang-wenang, pengetahuan tentang tidak ada gunanya menemukan titik di atau dekat ; semua yang bisa Anda lakukan dengannya bisa Anda lakukan tanpanya. Tapi, karena dan begitu dekat, menemukan titik dekat setara dengan menemukan titik dekat . Oleh karena itu, pengetahuan tentang (titik di ) tidak ada gunanya dalam menemukan titik dekat .q P P P P P q P ε $q$$q$$P$$\hat P$$P$$P$$\hat P$$q$$\hat P^\epsilon$$\hat P$

Jika tujuan Anda adalah menemukan titik di atau menentukan bahwa P kosong, mengapa Anda tidak melakukan yang berikut.$P$$P$

Biarkan menjadi seperangkat ruang setengah, awalnya kosong.$H$

Biarkan menjadi titik, awalnya sama dengan 0 k .$x$$0^k$

1. Berikan pada oracle.$x$

2. Jika oracle berkata , Anda sudah selesai.$x \in P$

3. Kalau tidak, biarkan menjadi ruang setengah yang dilanggar yang dikembalikan oleh oracle. Biarkan y menjadi proyeksi ortogonal x di S . $S$$y$$x$$S$

   • Jika ada setidaknya satu sehingga y ∉ T , maka Anda telah melakukan: P kosong.$T \in H$$y \not \in T$$P$
   • Kalau tidak, atur , dan atur x : = y . $H := H \cup \{S\}$$x := y$

4. Kembali ke 1.