Saya tahu itu tidak mungkin untuk memutuskan equivalence untuk kalkulus lambda yang tidak diketik. Mengutip Barendregt, HP The Lambda Calculus: Sintaks dan Semantiknya. Holland Utara, Amsterdam (1984). :
Jika A dan B terpisah, seperangkat istilah lambda yang ditutup berdasarkan kesetaraan, maka A dan B tidak dapat dipisahkan secara rekursif. Oleh karena itu, jika A adalah seperangkat istilah lambda nontrivial yang ditutup berdasarkan kesetaraan, maka A tidak bersifat rekursif. Jadi, kita tidak bisa memutuskan masalah "M = x?" untuk M. tertentu juga, maka Lambda tidak memiliki model rekursif.
Jika kita memiliki sistem normalisasi, seperti Sistem F, maka kita dapat memutuskan equivalence "from outside" dengan mengurangi dua istilah yang diberikan dan membandingkan apakah bentuk normalnya sama atau tidak. Namun, bisakah kita melakukannya "dari dalam"? Apakah ada Combinator Sistem-F E sehingga untuk dua combinator M dan N kita memiliki E M N = true jika M dan N memiliki bentuk normal yang sama, dan E M N = false jika tidak? Atau bisakah ini dilakukan setidaknya untuk beberapa M ? Untuk membuat combinator E M sehingga adalah true iff N ? Jika tidak, mengapa?