Alasan grafik mana yang mungkin tidak dapat diwarnai


21

Sementara sedikit beralasan pada pertanyaan ini , saya telah mencoba untuk mengidentifikasi semua alasan berbeda yang membuat grafik mungkin gagal k menjadi berwarna. Ini adalah satu-satunya 2 alasan yang dapat saya identifikasi sejauh ini:G=(VG,EG)k

  1. mengandung sebuah klik dari ukuran k + 1 . Ini adalah alasan yang jelas.Gk+1
  2. Terdapat subgraf dari G sehingga kedua pernyataan berikut ini benar:H=(VH,EH)G

    • tidak k - 1 dapat berwarna.Hk1
    • . Dengan kata lain terdapat node x di G tetapi tidak di H , sehingga x terhubung ke setiap node di H .xVGVH yVH {x,y}EGxGHxH

Kita dapat melihat 2 alasan di atas sebagai aturan. Dengan rekursif menerapkan mereka, hanya 2 cara untuk membangun non grafik yg berhasil yang tidak mengandung k + 1 clique adalah:kk+1

  1. Mulai dari siklus dengan panjang genap (yang warna), lalu terapkan aturan 2 untuk k - 1 kali. Perhatikan bahwa tepi tidak dianggap sebagai siklus dengan panjang 2 (jika tidak, proses ini akan memiliki efek membangun klik k + 1 ).2k12k+1
  2. Mulai dari siklus dengan panjang ganjil (yaitu warna), lalu terapkan aturan 2 untuk k - 2 kali. Panjang siklus awal harus lebih besar dari 3 (jika tidak, proses ini akan memiliki efek membangun klik k + 1 ).3k23k+1

Pertanyaan

Apakah ada alasan lagi, selain yang 2 di atas, yang membuat grafik non yg berhasil?k

 
Pembaruan 30/11/2012

Lebih tepatnya, yang saya butuhkan adalah beberapa teorema bentuk:

Grafik memiliki angka kromatik χ ( G ) = k + 1 jika dan hanya jika ...Gχ(G)=k+1

Hajos kalkulus , ditunjukkan oleh Yuval Filmus dalam jawabannya, adalah contoh sempurna dari apa yang saya cari, sebagai grafik memiliki bilangan kromatik χ ( G ) = k + 1 jika dan hanya jika dapat diturunkan dari aksioma K k + 1 dengan berulang kali menerapkan 2 aturan inferensi dari kalkulus. Angka Hajo h ( G ) kemudian merupakan jumlah minimum langkah yang diperlukan untuk memperoleh G (yaitu, itu adalah panjang dari bukti terpendek).Gχ(G)=k+1Kk+1h(G)G

Sangat menarik bahwa:

  • Pertanyaan apakah ada grafik yang h ( G ) eksponensial dalam ukuran G masih terbuka.Gh(G)G
  • Jika seperti tidak ada, maka N P = c o N P .GNP=coNP

5
Saya akan mengulangi komentar saya dari pertanyaan yang Anda tautkan seandainya Anda tidak mengetahui teorema (bahwa semua orang yang berpikir tentang pewarnaan seharusnya) dari Erd: Diberikan bilangan asli g dan k, ada grafik dengan ketebalan setidaknya g dan berwarna nomor setidaknya k. Lingkaran grafik adalah ukuran siklus terkecil, artinya jika Anda memiliki setidaknya 3, setiap klik maksimum berukuran 2 (setiap tepi adalah klik maksimum).
Pål GD


2
Pengamatan sederhana yang sering membantu: Setiap kelas warna adalah set independen. Jika Anda dapat menunjukkan bahwa tidak ada set independen yang besar, maka Anda tahu bahwa Anda akan membutuhkan banyak warna.
Jukka Suomela

1
Jika selalu ada alasan sederhana untuk grafik menjadi non- -warna, masalah pewarnaan grafik tidak akan NP-keras. Kecuali P = NP, beberapa grafik adalah non- k -warna hanya karena . kk
Jeffε

5
@ Jɛ ff E: alasannya mungkin sederhana, tetapi sulit untuk dihitung. Ada alasan yang cukup sederhana mengapa grafik memiliki atau tidak memiliki -Clique, tetapi masih NP-hard. k
Luke Mathies

Jawaban:


29

Anda harus memeriksa kalkulus Hajós . Hajós menunjukkan bahwa setiap grafik dengan angka berwarna setidaknya memiliki subgrafi yang memiliki "alasan" untuk membutuhkan warna k . Alasan yang dimaksud adalah sistem bukti untuk membutuhkan warna k . Satu-satunya aksioma adalah K k , dan ada dua aturan inferensi. Lihat juga makalah ini oleh Pitassi dan Urquhart tentang efisiensi sistem bukti ini.kkkKk


1
Luar biasa, inilah yang saya cari.
Giorgio Camerani

1
Terima kasih untuk penunjuknya. Tidak tahu tentang konstruksi Hajos sebelumnya.
Chandra Chekuri

15

Jawaban parsial, karena saya tidak tahu "alasan" yang bagus yang dapat digeneralisasi, tetapi grafik berikut (tanpa malu-malu didatangkan dari sini ):

Grafik non-3-warna tanpa K4 atau siklus aneh dengan tetangga yang terhubung sepenuhnya

Tidak 3-warna, tetapi jelas 4-warna (menjadi planar), dan tidak mengandung , atau siklus apa pun dengan simpul tambahan yang terhubung ke semua simpul siklus (kecuali jika saya kehilangan sesuatu, tetapi satu-satunya simpul terhubung ke simpul dan tetangganya berada dalam 3-siklus). Mengambil lebih jauh, Anda bisa menerapkan versi aturan 2 untuk mendapatkan grafik nomor berwarna 5.K4

Saya menduga bahwa untuk setiap genus yang diberikan, ada grafik dari nomor kromatik minimum tertentu (lihat dugaan Heawood ) yang tidak mengikuti aturan 1 atau 2. Tentu saja saya tidak punya bukti selain intuisi.


Grafik Petersen adalah contoh yang lebih kecil dari hal yang sama. Baik di atas dan Grafik Petersen memiliki anak di bawah umur , yang kembali ke komentar di atas tentang Hadwiger's. K4
William Macrae

1
The Hadwiger Dugaan meskipun adalah kondisi yang diperlukan, tetapi tidak cukup, sehingga grafik memiliki bilangan kromatik IFF memiliki K k kecil dan sesuatu yang lain . Seperti yang ditunjukkan JeffE tentu saja, kemungkinan bahwa sesuatu yang lain hanya karena (dalam arti itu bukan jawaban yang sederhana). kKk
Luke Mathies

@LukeMathieson: Sangat menarik. Apakah Anda memiliki contoh grafik yang memiliki minor dan yang k - 1 dapat berwarna? Kkk1
Giorgio Camerani

5
Ambil dan membagi semua tepi. Grafik yang dihasilkan adalah bipartit dan dengan demikian dua warna dapat, tetapi jelas memiliki grafik lengkap sebagai minor. Kk
Luke Mathies

12

Lovasz menemukan penghalang topologis untuk k-colorability dan menggunakan teorinya untuk menyelesaikan dugaan Knaser. Teorema-Nya adalah sebagai berikut. Biarkan G menjadi grafik yang terhubung, dan biarkan N (G) menjadi kompleks sederhana yang wajahnya adalah himpunan bagian dari V yang memiliki tetangga yang sama. Kemudian jika N (K) terhubung dengan k (yaitu, semua kelompok homologi tereduksinya adalah 0 hingga dimensi k-1) maka jumlah warna yang diperlukan untuk warna G setidaknya k + 3.


11

Tidak memiliki set independen yang besar bisa sama pentingnya dengan memiliki klik besar.

Suatu halangan penting untuk grafik agar tidak k-colorable adalah bahwa ukuran maksimum dari set independen lebih kecil dari n / k, di mana n adalah jumlah simpul. Ini adalah penghalang yang sangat penting. Sebagai contoh, ini menyiratkan bahwa grafik acak dalam G (n, 1/2) memiliki bilangan kromatik setidaknya n / log n.

Obstruksi yang lebih halus adalah bahwa untuk setiap tugas bobot nonnegatif untuk simpul tidak ada set independen yang menangkap sebagian 1/5 (atau lebih) dari total berat. Perhatikan bahwa ini juga termasuk "tidak ada penghalang klik". LP-dualitas memberitahu Anda bahwa obstruksi ini setara dengan "bilangan kromatik fraksional" dari G yang lebih besar dari k.

Ada juga penghalang untuk k-colorability dari sifat yang berbeda yang kadang-kadang melampaui penghalang bilangan kromatik fraksional. Saya akan mencurahkan usaha terpisah untuk mereka.


Terima kasih atas jawaban anda! Bobot pengikat obstruksi yang lebih halus dan set independen sangat menarik ...
Giorgio Camerani

11

Gχ(G)=k+1 jika dan hanya jika ...":

Gχ(G)kGk1


Terima kasih! Ini pasti 100% memadai. Itu sangat cocok dengan rumusan ulang pertanyaan itu.
Giorgio Camerani
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.