Sementara sedikit beralasan pada pertanyaan ini , saya telah mencoba untuk mengidentifikasi semua alasan berbeda yang membuat grafik mungkin gagal k menjadi berwarna. Ini adalah satu-satunya 2 alasan yang dapat saya identifikasi sejauh ini:
- mengandung sebuah klik dari ukuran k + 1 . Ini adalah alasan yang jelas.
Terdapat subgraf dari G sehingga kedua pernyataan berikut ini benar:
- tidak k - 1 dapat berwarna.
- . Dengan kata lain terdapat node x di G tetapi tidak di H , sehingga x terhubung ke setiap node di H .
Kita dapat melihat 2 alasan di atas sebagai aturan. Dengan rekursif menerapkan mereka, hanya 2 cara untuk membangun non grafik yg berhasil yang tidak mengandung k + 1 clique adalah:
- Mulai dari siklus dengan panjang genap (yang warna), lalu terapkan aturan 2 untuk k - 1 kali. Perhatikan bahwa tepi tidak dianggap sebagai siklus dengan panjang 2 (jika tidak, proses ini akan memiliki efek membangun klik k + 1 ).
- Mulai dari siklus dengan panjang ganjil (yaitu warna), lalu terapkan aturan 2 untuk k - 2 kali. Panjang siklus awal harus lebih besar dari 3 (jika tidak, proses ini akan memiliki efek membangun klik k + 1 ).
Pertanyaan
Apakah ada alasan lagi, selain yang 2 di atas, yang membuat grafik non yg berhasil?
Pembaruan 30/11/2012
Lebih tepatnya, yang saya butuhkan adalah beberapa teorema bentuk:
Grafik memiliki angka kromatik χ ( G ) = k + 1 jika dan hanya jika ...
Hajos kalkulus , ditunjukkan oleh Yuval Filmus dalam jawabannya, adalah contoh sempurna dari apa yang saya cari, sebagai grafik memiliki bilangan kromatik χ ( G ) = k + 1 jika dan hanya jika dapat diturunkan dari aksioma K k + 1 dengan berulang kali menerapkan 2 aturan inferensi dari kalkulus. Angka Hajo h ( G ) kemudian merupakan jumlah minimum langkah yang diperlukan untuk memperoleh G (yaitu, itu adalah panjang dari bukti terpendek).
Sangat menarik bahwa:
- Pertanyaan apakah ada grafik yang h ( G ) eksponensial dalam ukuran G masih terbuka.
- Jika seperti tidak ada, maka N P = c o N P .