Teorema Gereja dan Teorema Ketidaklengkapan Gödel

Saya baru-baru ini membaca beberapa ide dan sejarah dari pekerjaan inovatif yang dilakukan oleh berbagai ahli logika dan ahli matematika mengenai kemampuan komputasi. Sementara konsep-konsep individual cukup jelas bagi saya, saya sedang mencoba untuk memahami dengan kuat hubungan antar-hubungan di sana dan tingkat abstrak di mana mereka semua terkait.

Kita tahu bahwa teorema Gereja (atau lebih tepatnya, bukti independen Hilts's Entscheidungsproblem oleh Alonzo Church dan Alan Turing) membuktikan bahwa secara umum kita tidak dapat menghitung apakah pernyataan matematika yang diberikan dalam sistem formal benar atau salah. Seperti yang saya pahami, tesis Gereja-Turing memberikan deskripsi yang cukup jelas tentang kesetaraan (isomorfisme) antara kalkulus lambda Gereja dan mesin Turing, maka kita secara efektif memiliki model terpadu untuk komputabilitas. (Catatan: Sejauh yang saya tahu, bukti Turing memanfaatkan fakta bahwa masalah penghentian tidak dapat diputuskan. Koreksi saya jika saya salah.)

Sekarang, teorema ketidaklengkapan Gödel yang pertama menyatakan bahwa tidak semua pernyataan dalam sistem formal yang konsisten dengan kekuatan aritmatika yang memadai dapat dibuktikan atau tidak terbukti (diputuskan) dalam sistem ini. Dalam banyak hal, ini bagi saya untuk mengatakan hal yang persis sama kepada saya sebagai teorema Gereja, mengingat lambda kalkulus dan mesin Turning sama-sama sistem formal yang efektif!

Namun ini adalah penafsiran holistik saya, dan saya berharap seseorang dapat menjelaskan detailnya. Apakah kedua teorema ini secara efektif setara? Apakah ada seluk-beluk yang harus diamati? Jika teori-teori ini pada dasarnya melihat kebenaran universal yang sama dengan cara yang berbeda, mengapa mereka didekati dari sudut pandang yang berbeda? (Ada kurang lebih 6 tahun antara bukti Godel dan Gereja). Akhirnya, dapatkah kita mengatakan bahwa konsep provabilitas dalam sistem formal (kalkulus bukti) identik dengan konsep komputabilitas dalam teori rekursi (mesin Turing / lambda kalkulus)?

Pertama, saya sarankan Anda membaca "Metamathematics" karya Kleene sebagai buku yang bagus tentang topik-topik ini. Dua bab pertama jilid I dari "Teori Rekursi Klasik" Odifreddi juga dapat membantu dalam memahami hubungan antara konsep-konsep ini.

Kita tahu bahwa teorema Gereja (atau lebih tepatnya, bukti independen Hilts's Entscheidungsproblem oleh Alonzo Church dan Alan Turing) membuktikan bahwa secara umum kita tidak dapat menghitung apakah pernyataan matematika yang diberikan dalam sistem formal benar atau salah.

Saya pikir Anda merujuk pada teorema Gereja bahwa himpunan teorema logika tingkat pertama tidak dapat ditentukan. Penting untuk dicatat bahwa bahasa adalah urutan pertama.

Seperti yang saya pahami, tesis Gereja-Turing memberikan deskripsi yang cukup jelas tentang kesetaraan (isomorfisme) antara kalkulus lambda Gereja dan mesin Turing, maka kita secara efektif memiliki model terpadu untuk komputabilitas.

Tidak. Kesetaraan jika lambda-computability dan Turing-computability adalah teorema Kleene. Ini bukan tesis. Itu dianggap sebagai bukti yang mendukung tesis Gereja.

Catatan: Sejauh yang saya tahu, bukti Turing memanfaatkan fakta bahwa masalah penghentian tidak dapat diputuskan. Koreksi saya jika saya salah.

Sekarang, teorema ketidaklengkapan Gödel yang pertama menyatakan bahwa tidak semua pernyataan dalam sistem formal yang konsisten dapat dibuktikan dalam sistem ini. Dalam banyak hal, ini bagi saya tampaknya mengatakan hal yang persis sama kepada saya sebagai teorema Gereja, mengingat lambda kalkulus dan mesin Turning keduanya merupakan sistem formal yang efektif!

$\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

Ini tidak menyatakan hal yang sama. Itu tidak mengatakan apa-apa tentang set teorema teori yang diputuskan.

Namun ini adalah interpretasi holistik saya, dan saya berharap seseorang dapat menjelaskan detailnya. Apakah kedua teorema ini secara efektif setara? Apakah ada seluk-beluk yang harus diamati? Jika teori-teori ini pada dasarnya melihat kebenaran universal yang sama dengan cara yang berbeda, mengapa mereka didekati dari sudut pandang yang berbeda? (Ada kurang lebih 6 tahun antara bukti Godel dan Gereja).

Selama bertahun-tahun telah ada banyak penyalahgunaan teorema Godel (dan teorema serupa). Seseorang harus sangat berhati-hati dalam menafsirkannya. Sejauh yang saya lihat, pelanggaran biasanya merupakan hasil dari lupa menyebutkan beberapa kondisi dalam teorema atau menggabungkan teorema dengan beberapa kepercayaan lain. Pandangan yang cermat menunjukkan bahwa teorema-teorema ini, meskipun terkait, tidak setara.

Akhirnya, dapatkah kita mengatakan bahwa konsep provabilitas dalam sistem formal (kalkulus bukti) identik dengan konsep komputabilitas dalam teori rekursi (mesin Turing / lambda calculus)?

Saya tidak mengerti apa yang Anda maksud dengan "identik". Tentu saja ada banyak hubungan antara kemampuan komputasi dan kemampuan. Saya mungkin dapat membuat komentar yang lebih bermanfaat jika Anda menjelaskan apa yang Anda maksud dengan ini.

memperbarui

$L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

$Thm(T)$$Thm(T)$

Tentang hubungan antara kemampuan dalam sistem formal dan kemampuan komputasi. Salah satunya adalah sebagai berikut: Jika sistem ini efektif, maka set ekspresi derivasi di dalamnya adalah kembali, dan sistem adalah kasus khusus tata bahasa. Tata bahasa adalah cara lain untuk mendefinisikan konsep yang dapat dihitung yang setara dengan kemampuan mesin Turing.

dapatkah kita mengatakan bahwa konsep provabilitas dalam sistem formal (kalkulus bukti) identik dengan konsep komputabilitas dalam teori rekursi (mesin Turing / lambda kalkulus)?

Ini sangat mirip tetapi tidak identik, karena beberapa langkah dalam kalkulus bukti dapat mewakili operasi yang tidak dapat dihitung.

$ZFC$$\wp(N)$

Demikian pula, Teorema Kelengkapan Gödel memberi tahu kita bahwa rumus apa pun yang valid dalam logika orde pertama memiliki bukti, tetapi Teorema Trakhtenbrot memberi tahu kita bahwa, alih-alih model terbatas, validitas rumus orde pertama tidak dapat ditentukan.

Jadi bukti yang terbatas tidak selalu sesuai dengan operasi yang dapat dihitung.

Meskipun ini tidak sesuai dengan yang Anda tanyakan, itu berada di jalur yang sama dan mudah-mudahan Anda (dan pembaca lain dari pertanyaan Anda) akan menemukannya menarik. Anda pasti harus membaca korespondensi Curry-Howard , yang mengatakan bahwa kategori program, dalam arti tertentu, isomorfik dengan kategori bukti konstruktif . (Ini membahas bukti dan kemampuan komputasi pada tingkat yang berbeda dari jawaban lainnya.)

Saya akan mencoba menjawab pertanyaan Anda dari sudut pandang yang Anda ambil, singkatnya; Saya juga mencoba menghubungkan kedua teorema dengan cara yang berbeda.

Teorema ketidaklengkapan Gödel yang pertama menyatakan bahwa dalam sistem formal yang konsisten dengan kekuatan aritmatika yang memadai, ada pernyataan P sedemikian rupa sehingga tidak ada bukti tentang hal itu atau negasinya. Ini tidak menyiratkan bahwa tidak ada algoritma keputusan untuk set teorema teori, yang juga akan mengatakan bahwa P atau bukan P adalah teorema. Hasil teorema Church-Turing mengatakan bahwa algoritma seperti itu tidak ada. Itulah inti dari jawaban Kaveh, saya harap bisa menjelaskannya dengan lebih jelas.

Sekarang saya akan mencoba untuk membuktikan bahwa teorema Gereja-Turing menyiratkan teorema Gödel, tolong jelaskan saya di mana dan jika saya salah. Himpunan teorema Thm sebagian dapat dimenangkan, dan anggap R adalah program yang mengenalinya (yaitu, berhenti dengan "ya" jika input di Thm, terus berjalan sebaliknya). Mari kita gunakan ini untuk membangun algoritma baru: Diberikan pernyataan Q, untuk melihat apakah itu dapat dibuktikan, jalankan R secara paralel pada Q dan bukan Q, dengan menyisipkan eksekusi, dan berhenti ketika yang pertama berhenti, dan menghasilkan "Tidak" jika "bukan Q" terbukti, dan "Ya" sebaliknya; ini memberikan algoritma yang dapat dihitung. Dengan asumsi kontradiksi bahwa semua pernyataan dapat dibuktikan atau disangkal, algoritma ini akan menyelesaikan masalah Entscheidungsproblem, tetapi itu tidak masuk akal! Karena itu, harus ada pernyataan yang bisa '