[Saya akan menjawab pertanyaan seperti yang disebutkan dalam judul, meninggalkan litani pertanyaan lain tentang GCT untuk utas lainnya.] Membuktikan dugaan yang muncul dalam GCT sepertinya akan sangat menggunakan fakta bahwa fungsi-fungsi tersebut sedang dipertimbangkan (determinan dan permanen, dan polinomial terkait lainnya untuk P / poli dan NP) dicirikan oleh simetri mereka. Kebutuhan ini bukanlah hasil formal, tetapi intuisi yang diungkapkan oleh beberapa ahli. (Pada dasarnya bahwa tanpa adanya karakterisasi oleh simetri, memahami geometri aljabar dan teori representasi yang muncul jauh lebih sulit.)
Ini harus memotong Razborov-Rudich karena sangat sedikit fungsi yang ditandai oleh simetri mereka (melewati kondisi kebesaran dalam definisi bukti alami). Sekali lagi, saya belum melihat bukti tentang ini, tetapi ini adalah intuisi yang saya dengar diungkapkan oleh beberapa ahli.
Sekarang, atas bilangan kompleks, tidak jelas bagi saya bahwa ada analog dari Razborov-Rudich. Meskipun sebagian besar GCT saat ini berfokus pada bilangan kompleks, ada analog dalam karakteristik hingga (dijanjikan dalam makalah GCT VIII yang akan datang). Dalam karakteristik yang terbatas, orang mungkin benar-benar dapat membuktikan pernyataan dari bentuk "Sangat sedikit fungsi yang ditandai oleh simetri mereka."
[Menanggapi komentar Ross Snider, inilah penjelasan karakterisasi oleh simetri.]
Pertama, penjelasan demi contoh. Sebagai contoh, tentukan fungsi bantu . Jika adalah matriks permutasi, maka dan jika adalah diagonal, maka (produk dari entri diagonal). Sekarang, anggaplah adalah derajat homogen polinomial dalam variabel (yang kita anggap sebagai keinginan dari sebuah matriks ). Jika memiliki simetri berikut:A q ( A ) = 1 A q ( A ) = d e t ( A )qAq(A)=1Aq(A)=det(A)n n 2 n × n X pp(X)nn2n × nXhal
- p ( X) = p ( Xt) (transpos)
- p ( A XB ) = p ( X) untuk semua pasangan matriks sehingga dan masing-masing merupakan matriks permutasi atau matriks diagonal danA B q ( A ) q ( B ) = 1( A , B )SEBUAHBq( A ) q( B ) = 1
maka merupakan kelipatan konstan untuk semua matriks . Karena itu kami katakan permanen ditandai dengan simetri.p e r m ( X ) Xp ( X)p e r m ( X)X
Secara lebih umum, jika kita memiliki polinomial (homogen) dalam variabel , maka (grup semua matriks dapat dibalik ) bekerja pada oleh untuk (di mana kita mengambil variabel sebagai dasar untuk ruang vektor -dimensi tempat bekerja secara alami). Stabilizer dalam adalah subkelompok . Kami katakanm G L m m × m f ( A f ) ( x 1 , . . . , x m ) = f ( A - 1 ( x 1 ) , . . . , A - 1 ( x m ) ) A ∈ Gf( x1, . . . , xm)mG Lmm × mf( A f) ( x1, . . . , xm) = f( A- 1( x1) , . . . , A- 1( xm) )x 1 , . . . , x m m G L m f G L m StabA ∈ G Lmx1, . . . , xmmG LmfG Lmf f ′ m fStab ( f) = { A ∈ G Lm: A f= f}fdicirikan oleh simetri jika yang berikut ini berlaku: untuk setiap polinomial homogen dalam variabel dengan derajat yang sama dengan , jika untuk semua , maka adalah kelipatan konstan .f′mf A ∈ Stab ( f ) f ′ fAf′=f′A∈Stab(f)f′f