Apakah ada penjelasan untuk kesulitan membuktikan batas bawah kuadrat untuk masalah NP yang menarik?

Ini adalah tindak lanjut dari pertanyaan saya sebelumnya:

Kompleksitas waktu deterministik yang diketahui paling baik untuk masalah alami dalam NP

Saya merasa bingung bahwa kami belum dapat membuktikan waktu deterministik kuadratik lebih rendah untuk masalah NP yang menarik yang orang pedulikan dan mencoba untuk merancang algoritma yang lebih baik. Dugaan Waktu Eksponensial kami menyatakan bahwa SAT tidak dapat diselesaikan dalam waktu deterministik subeksponensial, namun kami bahkan tidak dapat membuktikan SAT (atau masalah NP lain yang menarik) memerlukan waktu kuadratik!

Saya tahu menarik agak subjektif dan tidak jelas. Saya tidak punya definisi. Tetapi izinkan saya mencoba menggambarkan apa yang saya anggap sebagai masalah yang menarik: Saya berbicara tentang masalah yang lebih dari beberapa orang merasa menarik. Saya tidak berbicara tentang masalah yang terisolasi terutama dirancang untuk menjawab beberapa pertanyaan teoritis. Jika orang tidak berusaha mencari algoritma yang lebih cepat untuk suatu masalah maka itu merupakan indikasi bahwa masalahnya tidak begitu menarik. Jika Anda ingin contoh konkret masalah menarik pertimbangkan masalah dalam makalah Karp tahun 1972 atau di Garey dan Johnson 1979 (kebanyakan dari mereka).

Apakah ada penjelasan mengapa kami belum dapat membuktikan waktu deterministik kuadratik lebih rendah untuk masalah NP yang menarik?

— Anonim
sumber

Karena batas bawah itu sulit? Penjelasan apa yang akan memuaskan Anda?

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E bagaimana dengan penjelasan nontrivial yang informatif dan berwawasan luas? Intuisi atau hasil menjelaskan mengapa kita terjebak di mana kita berada dalam membuktikan batas bawah. Karena klaim kami jauh lebih kuat daripada hasil kami, saya yakin para ahli lain telah memikirkan mengapa setelah berpuluh-puluh tahun mencoba, kami belum bisa mendapatkan batas bawah kuadratik pada masalah NP yang menarik.

— Anonim

Berikut ini penjelasan dari blog Lipton; Umpan dan Pergantian: Mengapa Batas Bawah Sangat Keras? rjlipton.wordpress.com/2009/02/12/...

— Mohammad Al-Turkistany

n^{2}

$n^2$

Pertanyaan tentang batas bawah waktu kuadratik relevan ketika Anda membatasi algoritma untuk memiliki sangat sedikit ruang (misalnya, polylog), atau ketika Anda melihat mesin Turing satu-pita (yang memiliki akses sangat terbatas ke memori). Tetapi ketika memori tidak dibatasi, dan akses memori tidak dibatasi, pertanyaan "nyata" adalah apakah ada batas waktu super-linear lebih rendah untuk masalah NP yang menarik, dalam model komputasi akses-acak apa pun. (Grandjean membuktikan beberapa batas bawah super-linear untuk mesin Turing multitape, tetapi mereka bergantung pada struktur kaset satu dimensi.)

— Ryan Williams

Jawaban:

Berikut ini penjelasan dari blog Lipton: Umpan dan Beralih: Mengapa Batas Bawah Sangat Keras?

$n^2$

Wawasan Rudich menjelaskan mengapa ada bukti batas bawah yang didasarkan pada metode berikut ini tidak dapat bekerja.

$f$ $f$

Pada dasarnya, tidak ada ukuran kemajuan yang dapat bertahan dari trik Umpan dan Beralih Rudich dan berhasil mengarah ke batas bawah.

— Mohammad Al-Turkistany
sumber

Anda dapat menemukan pandangan lain tentang argumen "umpan dan beralih" di bab bukti alamiah Arora-Barak. Mereka menggunakan argumen yang sama untuk menyatakan bahwa gaya "batas kompleksitas formal" gaya argumen batas bawah harus berlaku untuk fungsi acak dengan probabilitas tinggi. Tetapi jika ukuran kompleksitas formal

memberikan kompleksitas tinggi ke fungsi acak
tidak menetapkan kompleksitas tinggi ke fungsi yang mudah
dapat dengan mudah dihitung dari tabel kebenaran suatu fungsi

maka itu dapat digunakan untuk memecahkan generator pseudorandom. Inilah yang menjadi penghalang bukti alami, secara informal. Kami berpendapat bahwa 1. sangat masuk akal untuk banyak pendekatan untuk batas bawah, tanpa 2. ukuran kompleksitas tampaknya tidak berguna, dan 3. didasarkan pada pengamatan bahwa kami telah mampu mengubah sebagian besar bukti keberadaan kombinatorial menjadi algoritma yang efisien, dan pada intuisi bahwa bukti inheren non-konstruktif adalah sulit untuk dirancang.

$C$ $C'$ $C'$ $C$

— Sasho Nikolov
sumber