Bisakah Anda mengidentifikasi jumlah dua permutasi dalam waktu polinomial?

29

Ada dua pertanyaan yang diajukan baru-baru ini di cs.se yang terkait atau memiliki kasus khusus yang setara dengan pertanyaan berikut:

Misalkan Anda memiliki urutan dari angka sehingga Uraikan menjadi jumlah dari dua permutasi, dan , dari , sehingga $a_1, a_2, \ldots a_n$ $n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$ $\pi$ $\sigma$ $1 \dots n$ $a_i = \pi_i + \sigma_i\,$ .

Ada beberapa kondisi yang diperlukan: jika diurutkan sehingga $a_i$ $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$ , maka kita harus punya

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq k (k + 1) .

$\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1).$

Namun, kondisi ini tidak memadai. Dari jawaban untuk pertanyaan math.se ini saya bertanya, urutan 5,5,5,9,9,9 tidak dapat didekomposisi sebagai jumlah dari dua permutasi (satu dapat melihat ini dengan menggunakan fakta bahwa kedua 1 atau 5 hanya bisa dipasangkan dengan 4).

Jadi pertanyaan saya adalah: apa kompleksitas masalah ini?

— Peter Shor
sumber

BTW, Sebuah variasi sederhana muncul di benak saya dan saya tidak yakin dengan kerumitannya. Bisakah Anda mengidentifikasi jumlah bebas titik tetap dua permutasi dalam waktu polinomial? (Kami mensyaratkan bahwa dua permutasi tidak setuju pada setiap posisi yaitu

untuk semua

)

π_{i} \neq σ_{i}

$\pi_i \ne \sigma_i$

i

$i$

— Mohammad Al-Turkistany

20

Tidak, Anda tidak dapat mengidentifikasi jumlah dua permutasi dalam waktu polinomial kecuali P = NP. Masalah Anda adalah NP-complete karena versi keputusan dari masalah Anda sama dengan NP-complete problem -Pencocokan numerik dengan jumlah target: $2$

Input: Urutan bilangan bulat positif, , untuk $a_1, a_2, \ldots a_n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$ $1 \le a_i \le 2n$ $1 \le i \le n$

Pertanyaan: Apakah ada dua permutasi dan sedemikian rupa sehingga untuk ? $\psi_1$ $\psi_2$ $\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$ $1\le i \le n$

Dalam referensi, varian yang sangat terbatas dari NUMERICAL 3-DIMENSIONAL MATCHING (RN3DM) terbukti sangat lengkap dengan NP.

RN3DM, Mengingat multiset bilangan bulat dan integer sehingga , lakukan terdapat dua permutasi dan sehingga $U = \{u_1, . . . , u_n\}$ $e$ $\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$ $\lambda$ $\mu$ $u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$ , Untuk ? $j = 1, . . . , n$

Ada pengurangan yang mudah dari RN3DM ke -Numerical Matching dengan masalah jumlah target: Diberikan turunan dari RN3DM. Kami membangun sesuai misalnya dengan membuat untuk $2$ $a_i= e-u_i$ $1 \le i \le n$

W. Yu, H. Hoogeveen, dan JK Lenstra. Meminimalkan makespan di toko aliran dua mesin dengan penundaan dan operasi unit-waktu adalah NP-hard . Jurnal Penjadwalan, 7: 333-348, 2004

Sunting 1 Oktober : Masalah Anda disebut SUMBER PERMUTASI. Ini terdaftar sejak tahun 1998 dalam MASALAH TERBUKA DALAM OPTIMASI KOMBINATORIAL oleh Steve Hedetniemi.

— Mohammad Al-Turkistany
sumber

2

Terima kasih atas jawabannya. Saya telah menjawab salah satu masalah pada cs.se yang menginspirasi yang ini (yang tidak dalam bentuk dijawab langsung oleh referensi Anda), tetapi saya pikir Anda harus memiliki kesempatan pertama untuk menjawab yang kedua karena jawabannya diberikan dalam referensi Anda.

— Peter Shor

Terima kasih banyak, Peter. Saya senang bahwa saya dapat membantu Anda. Saya pikir Anda akan menghasilkan jawaban yang lebih baik. Jadi, silakan lanjutkan dan jawab pertanyaan itu juga.

— Mohammad Al-Turkistany

Berikut adalah pernyataan masalah seperti yang muncul pada halaman Web di atas: SUMBER PERMUTASI [Cheston, 198X] INSTANCE: Array A [1..n] dari bilangan bulat positif. PERTANYAAN: Apakah ada dua permutasi r dan s dari bilangan bulat positif {1,2, ..., n} sedemikian rupa sehingga untuk 1 <= i <= n, r (i) + s (i) = A [i] ?

— Mohammad Al-Turkistany

4

Di sisi lain, Marshall Hall menunjukkan bahwa adalah mungkin untuk mengidentifikasi perbedaan dua permutasi dengan mudah.

— moose anonim
sumber

14

Marshall Balai Ini teorema berlaku untuk jumlah itu juga, namun kedua perbedaan dan jumlah yang harus dihitung modulo

untuk hasil untuk menerapkan. Lebih dari

, jumlah dan perbedaannya adalah NP-complete.

n

$n$

Z

$\mathbb{Z}$

— Peter Shor

3

@PeterShor Untuk kelengkapan, silakan kirim komentar Anda sebagai jawaban terpisah dengan memberikan sketsa bukti kelengkapan NP untuk mengidentifikasi perbedaan dua permutasi.

— Mohammad Al-Turkistany

3

Untuk kelengkapan: Misalkan kita memiliki dua permutasi

dan

. Kami kemudian memiliki

juga merupakan permutasi. Sekarang, jika

adalah multiset

, maka

adalah multiset

ϕ

$\phi$

π

$\pi$

\bar{π} (i) = n + 1 - π (i)

$\bar{\pi}(i) = n+1 - \pi(i)$

ϕ + π

$\phi+\pi$

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$

ϕ - \bar{π}

$\phi-\bar{\pi}$

. Sebagai contoh,

tidak dapat direpresentasikan sebagai perbedaan dari dua permutasi karena

bukan jumlah dari dua permutasi.

{x_{1} - (n + 1), x_{2} - (n + 1), \dots, x_{n} - (n + 1)}

$\{x_1-(n+1), x_2-(n+1), \ldots, x_n-(n+1)\}$

{- 2, - 2, - 2, 2, 2, 2}

$\{-2,-2,-2,2,2,2\}$

{5, 5, 5, 9, 9, 9}

$\{5,5,5,9,9,9\}$

— Peter Shor