Kompleksitas dari algoritma simpleks

36

Apa batas atas pada algoritma simpleks untuk menemukan solusi untuk Program Linear?

Bagaimana saya mencari bukti untuk kasus seperti itu? Sepertinya kasus terburuk adalah jika setiap titik harus dikunjungi yaitu . Namun dalam praktiknya, algoritma simpleks akan berjalan secara signifikan lebih cepat daripada ini untuk masalah yang lebih standar. $O(2^n)$

Bagaimana saya bisa memberi alasan tentang kompleksitas rata-rata masalah yang diselesaikan dengan menggunakan metode ini?

Setiap informasi atau referensi sangat dihargai!

— antar jemput87
sumber

5

Perhatikan bahwa, seperti yang dikatakan mashca dalam sebuah jawaban , kita tidak benar-benar memiliki “algoritma simpleks.” Ada banyak algoritma simpleks berbeda tergantung pada pilihan aturan pivoting.

— Tsuyoshi Ito

2

Sebuah kubus dalam dimensi

memiliki

simpul, dan jadi ini jika batas atas untuk varian simpleks pada (misalnya, Klee-Minty) kubus. Namun, ada polyhedra dalam dimensi

dengan

faset, seperti dual-cyclic polytopes, dengan lebih dari

simpul, sehingga

bukan merupakan batas atas langsung untuk waktu berjalan dari metode simpleks untuk matriks kendala persegi pada umumnya .

n

$n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— Rahul Savani

72

Algoritma simpleks memang kunjungan semua $2^n$ simpul dalam kasus terburuk ( Klee & Minty 1972 ), dan ternyata ini menjadi benar untuk setiap aturan poros deterministik. Namun, dalam makalah tengara menggunakan analisis dihaluskan, Spielman dan Teng (2001) membuktikan bahwa ketika input ke algoritma sedikit acak terganggu, waktu berjalan yang diharapkan dari algoritma simpleks adalah polinomial untuk setiap input - ini pada dasarnya mengatakan bahwa untuk setiap masalah ada yang "dekat" yang metode simpleks efisien akan menyelesaikan, dan itu cukup banyak mencakup setiap program linear dunia nyata yang ingin Anda pecahkan. Setelah itu, Kelner dan Spielman (2006) diperkenalkan Algoritma simpleks acak waktu polinomial yang dapat bekerja pada input apa pun, bahkan yang buruk untuk algoritma simpleks asli.

— Lev Reyzin
sumber

36

Seperti yang dikatakan Lev, dalam kasus terburuk algoritma mengunjungi semua simpul $2^d$ mana $d$ adalah jumlah variabel. Namun, kinerja algoritma simpleks juga sangat bergantung pada aturan pivot spesifik yang digunakan. Sejauh yang saya ketahui, ini masih menjadi pertanyaan terbuka jika ada aturan indivinistik deterministik khusus dengan waktu berjalan kasus terburuk sub-eksponensial. Banyak kandidat telah dikesampingkan oleh hasil batas bawah. Baru-baru ini, Friedmann, Hansen, dan Zwick juga menunjukkan batas bawah non-polinomial pertama untuk beberapa aturan pivot acak alami dengan beberapa koreksi yang diberikan kemudian .

Namun, menambah hasil analisis yang dihaluskan yang disebutkan oleh Lev: Setelah kertas mani Spielman dan Tengs memperkenalkan analisis yang diperhalus, Vershynin meningkatkan batasan mereka lebih lanjut pada tahun 2006. Dia menunjukkan bahwa waktu berjalan yang diharapkan pada contoh yang sedikit terganggu hanya poli-logaritmik dalam jumlah kendala $n$ , turun dari $n^{86}$ .

— Matthias
sumber

4

dan seperti yang ditunjukkan JeffE dalam pertanyaan yang berbeda ( cstheory.stackexchange.com/questions/2149/… ) metode subeksponensial terbaik saat ini adalah sejenis dual simpleks.

— Suresh Venkat

Tautan ke kertas Vershynin sudah mati.

— kutschkem

8

Untuk memperoleh wawasan tentang analisis kasus simpleks kasus terburuk dan rata-rata, Anda harus membaca "Analisis Lancar: Mengapa Algoritma Simpleks Biasanya Membutuhkan Waktu Polinomial." oleh Spielman dan Teng.

— Christina Boucher
sumber

3

Referensi yang baik tentang mengapa simplex tidak berjalan dalam waktu polinomial, daripada mengapa eksponensial adalah Papadimitriou & Steiglitz Combinatorial Optimization, Bagian 8.6 di mana mereka menunjukkan bahwa Simplex bukan algoritma waktu polinomial.

— hyperboreean
sumber

1

$D=200$

GLPK Simplex Optimizer, v4.65
200 rows, 200 columns, 20100 non-zeros
Preprocessing...
199 rows, 200 columns, 20099 non-zeros
Scaling...
 A: min|aij| =  1.000e+00  max|aij| =  1.607e+60  ratio =  1.607e+60
...
Constructing initial basis...
Size of triangular part is 199
*     0: obj =   0.000000000e+00 inf =   0.000e+00 (200)
*     1: obj = -6.223015278e+139 inf =   0.000e+00 (0)
OPTIMAL LP SOLUTION FOUND
Time used:   0.0 secs
Memory used: 3.4 Mb

Adakah yang bisa menyarankan cara lain untuk membangun masalah yang sulit untuk metode simpleks, lambat tapi tidak terikat memori?

Ditambahkan: kotak Latin alias 3d-permutasi-matriks tampaknya memiliki banyak simpul - berapa banyak?
_{Teori dan praktik lebih dekat dalam teori daripada praktik.}

— Denis
sumber

-1

The original algoritma Simplex mungkin menyimpang; itu siklus pada contoh tertentu. Karenanya, tidak ada batasan umum. Jawaban lain memberi Anda jawaban untuk berbagai modifikasi dari algoritma Simplex.

— MdAyq7
sumber