Adakah polinomial yang sulit dihitung tetapi mudah diputuskan?

Setiap rangkaian aritmatika monoton , yaitu sirkuit , menghitung beberapa polinomial multivariat dengan koefisien integer nonnegatif. Diberi polinom , sirkuit $\{+,\times\}$ $F(x_1,\ldots,x_n)$ $f(x_1,\ldots,x_n)$

Toedjoe menghitung jika berlaku untuk semua ; $f$ $F(a)=f(a)$ $a\in \mathbb{N}^n$
jumlah jika berlaku untuk semua ; $f$ $F(a)=f(a)$ $a\in\{0,1\}^n$
memutuskan jika persis ketika berlaku untuk semua . $f$ $F(a)>0$ $f(a)>0$ $a\in\{0,1\}^n$

Saya tahu polinomial eksplisit (bahkan multilinear) yang menunjukkan bahwa celah ukuran sirkuit "menghitung / menghitung" dapat bersifat eksponensial. Pertanyaan saya menyangkut jeda "jumlah / keputusan". $f$

Pertanyaan 1: Apakah ada yang tahu tentang polinomial yang secara eksponensial lebih sulit untuk dihitung daripada memutuskan dengan -circuits? $f$ $\{+,\times\}$

Sebagai kandidat yang memungkinkan, seseorang dapat mengambil polinomial PATH yang variabelnya sesuai dengan tepi grafik lengkap pada , dan masing-masing monomial berhubungan dengan jalur sederhana dari simpul ke simpul dalam . Polinomial ini dapat diputuskan oleh rangkaian ukuran mengimplementasikan, katakanlah, algoritma pemrograman dinamis Bellman-Ford, dan relatif mudah untuk menunjukkan bahwa setiap komputasi sirkuit sirkuit $K_n$ $\{1,\ldots,n\}$ $1$ $n$ $K_n$ $O(n^3)$ $\{+,\times\}$ PATH harus berukuran . $2^{\Omega(n)}$

Di sisi lain, setiap rangkaian penghitungan PATH memecahkan yang masalah PATH, yaitu menghitung jumlah -to- jalan di ditentukan oleh yang sesuai - subgraf masukan dari . Ini adalah masalah yang disebut P -lengkap . Jadi, kita semua "percaya" bahwa PATH tidak dapat memiliki penghitungan -circuit dengan ukuran polinomial. Masalah "hanya" adalah untuk membuktikan ini ... $\#$ $1$ $n$ $0$ $1$ $K_n$ $\#$ $\{+,\times\}$

Saya dapat menunjukkan bahwa setiap -circuit yang menghitung jalur polinomial jalur Hamiltonian terkait memerlukan ukuran eksponensial. Monomials dari bersesuaian ini polinomial untuk -to- jalan di mengandung semua node. Sayangnya, pengurangan dari HP untuk PATH oleh Valiant membutuhkan untuk menghitung invers dari matriks Vandermonde, dan karenanya tidak dapat dilaksanakan oleh -circuit. $\{+,\times\}$ $1$ $n$ $K_n$ $\#$ $\#$ $\{+,\times\}$

Pertanyaan 2: Apakah ada yang melihat pengurangan HP menjadi PATH secara monoton ? $\#$ $\#$

Dan akhirnya:

Pertanyaan 3: Apakah "versi monoton" kelas P dipertimbangkan? $\#$

NB Perhatikan bahwa saya berbicara tentang kelas sirkuit yang sangat terbatas: sirkuit aritmatika monoton ! Di kelas -circuits, Pertanyaan 1 tidak adil untuk ditanyakan sama sekali: tidak ada batas bawah yang lebih besar dari untuk sirkuit seperti itu, bahkan ketika diminta untuk menghitung polinomial tertentu pada semua input dalam , diketahui. Juga, di kelas sirkuit seperti itu, "analog struktural" dari Pertanyaan 1 - apakah ada P- polinomial lengkap yang dapat diputuskan dengan poly-size $\{+,-,\times\}$ $\Omega(n\log n)$ $\mathbb{R}^n$ $\#$ -lingkaran? - Memiliki jawaban afirmatif. Seperti adalah, misalnya, PER polinomial permanen . $\{+,-,\times\}$ $=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

TAMBAH: Tsuyoshi Ito menjawab Pertanyaan 1 dengan trik yang sangat sederhana. Tetap saja, Pertanyaan 2 dan 3 tetap terbuka. Status penghitungan PATH menarik karena keduanya merupakan masalah DP standar dan karena # P-complete.

— Stasys
sumber

Sedangkan untuk Pertanyaan 1, bagaimana dengan menambahkan 1 ke polinomial yang sulit dihitung?

— Tsuyoshi Ito

Tiga pertanyaan Anda tampaknya cukup berbeda sehingga harus tiga pertanyaan terpisah.

— David Richerby

Saya khawatir Anda tidak dapat menghindari contoh sepele dengan hanya melarang konstanta di sirkuit aritmatika. Bagaimana dengan menambahkan x_1 + ... + x_n ke polinomial yang sulit dihitung yang mengambil 0 pada titik asal? (Terlebih lagi, jika Anda melarang konstanta, Anda tidak dapat merepresentasikan polinomial yang mengambil nilai bukan nol di titik asalnya.)

— Tsuyoshi Ito

'Seperti dalam "teori #P", di bawah "keputusan" yang kami maksudkan "adalah setidaknya ada satu solusi". Dan konstanta bukanlah solusi (biasanya). ' Anda tahu, Anda berada di lereng yang licin di sini. Pertimbangkan rekanan #P dari Pertanyaan 1: berikan contoh relasi R∈FNP sehingga #R adalah # P-complete tetapi mudah untuk memutuskan apakah #R (x)> 0 atau tidak. Kita mungkin tergoda untuk mengatakan Matching, tetapi ini adalah kerja keras. Menambahkan solusi sepele ke 3SAT berfungsi dengan baik, dan komentar saya sebelumnya analog dengan ini. (selengkapnya)

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi Ito: Nah, trik sederhana Anda (tambahkan jumlah semua variabel ke polinomial yang sulit dihitung) sebenarnya menjawab Pertanyaan 1 (dalam bentuk yang dinyatakan). Bisakah Anda menjawabnya sebagai jawaban?

— Stasys

(Saya memposting komentar saya sebagai jawaban untuk menanggapi permintaan OP.)

Adapun Pertanyaan 1, biarkan f _n : {0,1} ⁿ → ℕ menjadi keluarga fungsi yang sirkuit aritmatika membutuhkan ukuran eksponensial. Maka demikian juga f _n 1, tapi f _n 1 mudah untuk memutuskan dengan sirkuit aritmatika sepele monoton. Jika Anda memilih untuk menghindari konstanta dalam monoton sirkuit aritmatika, maka biarkan f _n : {0,1} ⁿ → ℕ menjadi keluarga fungsi sehingga sirkuit aritmatika untuk f _n membutuhkan ukuran eksponensial dan f _n (0, ..., 0) = 0, dan pertimbangkan f _n + x ₁ + ... + x _n .

— Tsuyoshi Ito
sumber