Apakah masih terbuka untuk menentukan kompleksitas penghitungan grafik planar?

Untuk konstanta , seseorang dapat menentukan dalam waktu linier, diberikan grafik input , apakah treewidth -nya adalah . Namun, ketika dan diberikan sebagai input, masalahnya adalah NP-hard. ( Sumber ). $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

Namun, ketika grafik input adalah planar , sangat sedikit yang diketahui tentang kompleksitas. Masalahnya tampaknya terbuka pada 2010, klaim yang juga muncul dalam survei ini pada 2007 dan di halaman Wikipedia untuk dekomposisi cabang . Sebaliknya, masalahnya diklaim NP-keras (tanpa bukti referensi) dalam versi sebelumnya dari survei yang disebutkan sebelumnya, tapi saya menganggap ini adalah kesalahan.

Apakah masih terbuka untuk menentukan kompleksitas masalah, mengingat dan grafik planar , untuk menentukan memiliki treewidth ? Jika ya, apakah ini diklaim dalam makalah terbaru? Apakah ada hasil parsial yang diketahui? Jika tidak, siapa yang menyelesaikannya? $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
sumber

Pertanyaan menarik, tepuk tangan untuk me-reboot survei. Untuk chip 2 sen saya, saya percaya sumber asli untuk bukti waktu linier adalah Bodlaender tetapi faktor konstan yang tersembunyi oleh notasi kompleksitas asimptotik sangat besar. Mungkin spin-off / ekstensi yang menarik untuk pertanyaan Anda adalah apakah pembatasan planar memungkinkan faktor konstan yang lebih praktis dalam konteks ini?

— Fasermaler

Saya pikir itu adalah "masalah lama dan terkenal", jadi jika Anda tidak menemukan kertas itu mungkin masih merupakan masalah terbuka. "Bukti" lainnya: Kuliah dari kursus Algoritma Grafik, Aplikasi dan Implementasi (2015), Kuliah dari kursus Grafik & Algoritma: Topik Lanjutan (2014), Ensiklopedia algoritma (2008).

— Marzio De Biasi

@Sariel: Dapat diperkirakan dalam faktor konstan (3/2) dengan menggunakan fakta bahwa itu dan branchwidth berada dalam konstanta satu sama lain dan planwidth branchwidth dapat dihitung dalam waktu polinomial. Juga dapat diperkirakan dalam log untuk semua grafik menggunakan Leighton – Rao; lihat kintali.wordpress.com/2010/01/28/approximating-treewidth

— David Eppstein

@Fasermaler langkah pertama dalam algoritma Bodlaender (dan algoritma sebelumnya yang merupakan FPT tetapi bukan waktu linier) adalah menghitung dekomposisi pohon perkiraan di mana orang dapat menggunakan pemrograman dinamis untuk menemukan dekomposisi optimal. Semakin ketat aproksimasi, semakin cepat langkah kedua. Jadi fakta bahwa perkiraan yang lebih ketat untuk planar treewidth dapat ditemukan menggunakan branchwidth tampaknya akan mengarah pada ketergantungan yang lebih baik pada parameter (dengan mengorbankan kembali ke polinomial dari linear). Tapi saya tidak tahu makalah yang menganalisis ini dengan cermat.

— David Eppstein

Mengenai masalah perkiraan treewidth. Sebuah

-approximation untuk menemukan jarang / seimbang simpul-pemisah akan memberikan

-approximation untuk treewidth. Dengan demikian, dalam grafik umum kita akan mendapatkan

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

melalui ARV / Feige-Lee-Hajiaghayi dan

dalam keluarga planar dan keluarga tertutup kecil yang layak. Untuk grafik umum kita bisa mendapatkan

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

mana

adalah treewidth.

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

— Chandra Chekuri

Sejauh yang saya tahu NP-kelengkapan komputasi treewidth dari grafik planar masih terbuka. Referensi terbaru yang saya tahu adalah survei oleh Bodlaender dari 2012 yang disebut `Fixed-Parameter Tractability of Treewidth and Pathwidth 'yang muncul di festival untuk ulang tahun ke-65 Mike Fellows. Masalahnya tercantum dalam kesimpulan survei.

— Bart Jansen
sumber

Terima kasih! (Dan terima kasih juga kepada @MarzioDeBiasi karena menyarankan referensi lain.) Karena penasaran, apakah seseorang juga mengetahui kapan masalah tersebut pertama kali diajukan?

— a3nm