Berapa banyak negasi yang kita perlukan untuk menghitung fungsi monoton?


14

Razborov membuktikan bahwa pencocokan fungsi monoton tidak dalam mP . Tetapi bisakah kita menghitung pencocokan menggunakan sirkuit ukuran polinomial dengan beberapa negasi? Apakah ada sirkuit P / poli dengan negasi yang menghitung pencocokan? Apa trade-off antara jumlah negasi dan ukuran untuk pencocokan?O(nϵ)

Jawaban:


21

Markov membuktikan bahwa setiap fungsi input dapat dihitung dengan hanya negations. Versi konstruktif yang efisien dijelaskan oleh Fisher. Lihat juga eksposisi hasil dari blog GLL .log ( n + 1 ) nlog(n+1)

Lebih tepatnya:

Teorema: Misalkan f:{0,1}n{0,1}m dihitung dengan sirkuit C dengan g gerbang, maka juga dihitung dengan sirkuit C dengan 2g+O(n2log2n) gerbang dan log(n+1) negations.

Gagasan utamanya adalah menambahkan untuk setiap kawat w di C kawat parell w di C yang selalu membawa pelengkap w . Kasus dasar adalah untuk kabel masukan: Fisher menjelaskan cara membangun sebuah sirkuit inversi I(x)=x¯ dengan O(n2log2n) gerbang dan hanya log(n+1) negasi rceil . Untuk gerbang AND dari sirkuit C , kita dapat menambah a=bc dengan a=bc , dan juga untuk gerbang OR. BUKAN gerbang di C tidak ada biaya, kami hanya menukar peran w dan whilir dari gerbang NOT. Dengan cara ini, seluruh rangkaian di samping subcircuit inverter adalah monoton.

AA Markov. Pada kompleksitas inversi dari suatu sistem fungsi. J. ACM , 5 (4): 331–334, 1958.

MJ Fischer. Kompleksitas jaringan terbatas-negasi - Survei singkat. Dalam Automata Theory dan Formal Languages , 71–82, 1975


Apakah ini sirkuit P / poli?
Anonim

2
Ya, ukuran sirkuit pergi dari ke di mana adalah jumlah input. Saya telah memperluas respons untuk memasukkan pernyataan hasil yang lebih tepat, dan membuatnya lebih mandiri. g2g+O(n2log2n)n
mikero

4
Dan beberapa fungsi monoton eksplisit (multi-output) dalam P / poly memerlukan setidaknya negasi untuk tetap dalam P / poly. lognO(loglogn)
Stasys

2
Untuk baris pertanyaan ini (kekuatan negasi di sirkuit / formula / dll), berikut ini mungkin relevan: eccc.hpi-web.de/report/2014/144 , eprint.iacr.org/2014/902 , dan eccc. hpi-web.de/report/2015/026 .
Clement C.

2
2g+O(nlogn) sudah cukup oleh dimacs.rutgers.edu/TechnicalReports/abstracts/1995/95-31.html .
Emil Jeřábek mendukung Monica

1

Cara menghitung inversi bit menggunakan n negasi2n1n

Biarkan bit diurutkan dalam urutan menurun, yaitu i < j menyiratkan x ix j . Ini dapat dicapai dengan jaringan sortir monoton seperti jaringan sortir Ajtai – Komlós-Szemerédi.x0,,x2n1i<jxixj

Kita mendefinisikan rangkaian inversi untuk bit I n ( x ) secara induktif: Untuk kasus dasar kita memiliki n = 1 dan I 1 0 ( x ) : = ¬ x 0 . Misalkan m = 2 n - 1 . Kami mengurangi I n (untuk 2 m + 1 ) bit menjadi satu I n - 1 gerbang (untuk m2n1In(x)n=1I01(x):=¬x0m=2n1In2m+1In1mbit) dan satu gerbang negasi menggunakan gerbang dan . Kami menggunakan negasi untuk menghitung ¬ x m . Untuk i < m let y i : = ( x i¬ x m ) x m + i . Kami menggunakan I n - 1 untuk membalikkan y . Sekarang kita dapat mendefinisikan I n sebagai berikut:¬xmi<myi:=(xi¬xm)xm+iIn1yIn

Iin:={Iin1(y)¬xmi<m¬xmi=mIin1(y)¬xmi<m

Sangat mudah untuk memverifikasi ini membalik dengan mempertimbangkan nilai-nilai yang mungkin dari x n dan menggunakan fakta bahwa x menurun.xxnx

Dari Michael J. Fischer, Kompleksitas jaringan terbatas-negasi - survei singkat, 1975.

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.