Apakah sirkuit aritmatika lebih lemah dari boolean?

Misalkan menunjukkan ukuran minimum dari hitung aritmatika (non-monoton) ( + , × , - ) yang menghitung polinomial multinear f yang diberikan ( x 1 , … , x n ) = ∑ e ∈ E c e n ∏ i = 1 x e i$A(f)$$(+,\times,-)$ Dan B ( f ) menunjukkan ukuran minimum dari (non-monoton) boolean ( ∨ , ∧ , ¬ ) sirkuit menghitungversi boolean f b dari f didefinisikan oleh: f b ( x 1 , ... , x n ) = ⋁ e ∈ E ⋀ i : e i ≠ 0 x

$$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{e\in E}c_e\prod_{i=1}^n x_i^{e_i}\,,$$ $B(f)$$(\lor,\land,\neg)$ $f_b$$f$ $$f_b(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{e\in E}\ \bigwedge_{i\colon e_i\neq 0} x_i\,.$$

Apakah polinomial diketahui B ( f ) lebih kecil dari A ( f ) ? $f$$B(f)$$A(f)$

Jika kita menganggap versi monoton dari rangkaian - tanpa Minus dan tidak Tidak ( ¬ ) gerbang - maka B ( f ) bahkan bisa secara eksponensial lebih kecil dari A ( f ) : ambil, misalnya, jalur terpendek polinomial f pada K n ; maka B ( f ) = O ( n 3 ) dan A ( f ) = 2 Ω ( $(-)$$(\neg)$$B(f)$$A(f)$$f$$K_n$$B(f)=O(n^3)$$A(f)=2^{\Omega(n)}$$A(f)$

---

CATATAN (2016/03/15) Dalam pertanyaan saya, saya tidak ditentukan bagaimana koefisien besar diperbolehkan. Igor Sergeev ingat saya bahwa, misalnya, berikut (univariat) polinomial f ( z ) = Σ m j = 1 2 2 j m z j memiliki A ( f ) = Ω ( m 1 / 2 ) (Strassen dan orang-orang nya kelompok). Tapi B ( f ) = 0 untuk polinomial ini, karena f b$c_e$$f(z)=\sum_{j=1}^m 2^{2^{jm}} z^j$$A(f)=\Omega(m^{1/2})$$B(f)=0$ . Kita dapat memperoleh fron f suatumultivariatpolinomial f ' ( x 1 , ... , x n ) dari n = log m variabel menggunakan menggunakan Kronecker substitusi. Kaitkan dengan setiap eksponen j a monomial X j = ∏ i : a i = 1 x i , di mana ( a 1 , … , a n$f_b(z)=z$$f$$f'(x_1,\ldots,x_n)$$n=\log m$$j$$X_j=\prod_{i:a_i=1}x_i$$(a_1,\ldots,a_n)$adalah 0-1 koefisien representasi biner dari . Kemudian diinginkan polinomial yaitu f ' = Σ m j = 1 c j X j , dan kita mendapati bahwa A ( f ' ) + n ≥ A ( f ) = Ω ( m 1 / 2 ) = 2 Ω ( n ) . Tetapi versi boolean dari f ′ hanyalah OR dari variabel, jadi B $j$$f'=\sum_{j=1}^m c_j X_j$ $$A(f')+n\geq A(f)=\Omega(m^{1/2})=2^{\Omega(n)}.$$ $f'$ , dan kami memiliki kesenjangan yang bahkan eksponensial. Dengan demikian, jika besarnya koefisien dapat menjadi tiga-eksponensial dalam jumlah n variabel maka kesenjangan A ( f ) / B ( f ) dapatditunjukkan bahkan eksponensial. (Sebenarnya, bukan besarnya itu sendiri - lebih banyak ketergantungan aljabar dari koefisien.) Inilah mengapa masalah sebenarnya dengan A ( f ) adalah kasuskoefisienkecil(idealnya, hanya 0-1). Tetapi dalam kasus ini, seperti yang diingat Yosua, batas bawah A ( f $B(f')\leq n-1$$n$$A(f)/B(f)$ $A(f)$ dari Strassen dan Baur (dengan koefisien 0-1) tetap yang terbaik yang kita miliki saat ini.$A(f)=\Omega(n\log n)$

$\mathsf{VP}^0 \neq \mathsf{VNP}^0$

$\Omega(n \log n)$$\sum_{i=1}^n x_i^n$$\Omega(n \log n)$$x_1 \vee x_2 \vee \dotsb \vee x_n$