Perluasan teorema Ramsey: monokromatik tetapi beragam


9

Sebagai tindak lanjut dari pertanyaan saya sebelumnya , yang diselesaikan oleh Hsien-Chih Chang, berikut adalah upaya lain untuk menemukan generalisasi yang sesuai dari teorema Ramsey. (Anda tidak perlu membaca pertanyaan sebelumnya; posting ini mandiri.)


Parameter: bilangan bulat 1dkn diberikan, dan kemudian dipilih menjadi cukup besar. Terminologi: -subset adalah subset dari ukuran .m mNmm

Biarkan . Untuk setiap subset , tetapkan warna .k S B f ( S ) { 0 , 1 }B={1,2,...,N}kSBf(S){0,1}

Definisi:

  • XB adalah monokromatik jika untuk semua -subsets dan .k S X S Xf(S)=f(S)kSXSX
  • XB adalah beragam jika sehingga dan untuk semua saya .x i < x i + 1 x iX={x1,x2,...,xn}xi<xi+1ixixi+1 mod di

Misalnya, jika , maka beragam tetapi tidak. Perhatikan bahwa himpunan bagian dari himpunan yang beragam belum tentu beragam.{ 12 , 15 , 23 , 32 , 39 } { 12 , 15 , 25 , 32 , 39 }d=10{12,15,23,32,39}{12,15,25,32,39}

Sekarang teorema Ramsey mengatakan bahwa tidak peduli bagaimana kita memilih , ada monokromatik -subset . Dan jelas itu adalah sepele untuk menemukan beragam -subset .n X B n X BfnXBnXB

Pertanyaan: apakah ada selalu beragam dan monokromatik -subset ?X BnXB


Sunting: Hsien-Chih Chang menunjukkan bahwa klaim tersebut salah untuk perdana , tetapi bagaimana dengan komposit ? Dalam aplikasi saya, saya akan memiliki banyak kebebasan dalam memilih nilai yang tepat dari , selama saya dapat menjadikannya besar secara sewenang-wenang. Mereka bisa menjadi kekuatan bilangan prima, produk dari bilangan prima, atau apa pun yang diperlukan untuk membuat klaim itu benar.d d k ndddkn

Jawaban:


7

Pertama-tama saya harus mengatakan: masalah ini sangat menarik !! Dan di sini saya jelaskan secara singkat mengapa pendekatan saya sebelumnya gagal, seperti yang disarankan dalam posting meta ini tentang jawaban yang salah.

  • Upaya pertama saya adalah mencoba membangun pewarnaan yang terkait dengan penjumlahan dari himpunan-k yang membuat semua n-himpunan non-monokromatik. Lemma 1 masih tersedia; tetapi Lemma 2 salah, dengan mengamati bahwa jika k dan d adalah prima terkait, maka n-subset dalam modul d yang disarankan oleh @Jukka adalah contoh tandingan.{1,3,1,3,}

  • Percobaan kedua adalah bukti bagi teorema; dengan menghitung rasio subset yang beragam dan monokromatik , kami berharap bahwa jumlah monokromatik yang akan melampaui yang n -beragam. Tetapi ini adalah kesalahan dalam perhitungan saya, diamati oleh @domotorp: rasio menjadi tidak beragam tidak akan mendekati nol; konvergen sekitar n / d , yang jelas lebih besar dari R ( n , n ; k ) - n .nn/dR(n,n;k)n

  • Yang ketiga kembali ke metode pertama, dan itu menunjukkan bahwa untuk set parameter uber-lemah ( dan ), teorema itu salah. Kami menggunakan lemma terkenal dalam kombinatorik aditif: teorema-EGZ.n>k+d-1dk


Percobaan keempat adalah karena jawaban oleh @domotorp; itu pintar dan inspiratif, dan saya akan mencoba memodifikasi buktinya untuk menangani semua parameter. Tetapi metodenya tetap elegan, dan saya sangat menghargai pendekatan sederhana ini.

N-set yang beraneka ragam mengandung setidaknya satu k-subset dengan setidaknya "beralih antar kelas mod"; tepatnya, biarkan X = x 1 , ... , x n menjadi n-set beragam, dan biarkan S * = x 1 , ... , x k , sebuah saklar didefinisikan jika x i dan x i + 1 berada di berbagai mod-d kelas. Kami memiliki sakelar k-1 untuk S .k-1X=x1,...,xnS=x1,...,xkxsayaxsaya+1S

Biarkan k-bagian akan merah jika S memiliki paling k-2 switch; kalau tidak biru . Dengan paragraf sebelumnya kita sudah memiliki satu biru, sekarang kita membuktikan bahwa untuk n > k + d + 1 , ada merah S dalam n-set X . Karena n > d , ada dua angka x i , x j dalam kelas mod-d yang sama dan j - i d - 1 ; dan karena n > k + dSSn>k+d+1SXn>dxsaya,xjj-sayad-1 , setidaknya ada k-2 elemen x k di X dengan k < i atau k > j . Dan kita dapat membuat k-subset S dengan x i di sebelah x j , yang hanya berganti paling banyak k-2 kali. Jadi S adalah subset k-merah.n>k+d+1xkXk<sayak>jSxsayaxjS


1
Saya mengajukan pertanyaan pada MO untuk permintaan literatur di EHC umum pada kelompok siklik.
Hsien-Chih Chang 張顯 之

Terima kasih, ini mencerahkan, tetapi saya tidak yakin apakah ini dapat diperpanjang untuk menunjukkan bahwa klaim tersebut salah untuk komposit . Sebagai contoh, jika d = 4 dan k adalah ganjil, maka beragam X mungkin terdiri dari elemen yang bergantian 1 atau 3 mod d , dan tidak ada k -set adalah nol mod d ? dd=4kX13dkd
Jukka Suomela

Mengenai masalah sebenarnya: Semua ini terkait dengan pernyataan pembuktian dari formulir "tidak ada algoritma terdistribusi deterministik yang menyelesaikan masalah grafik ini dalam waktu yang lebih sedikit daripada banyak putaran komunikasi". Teori Ramsey telah berhasil diterapkan dalam banyak kasus; lihat misal kuliah 4 di sini . Tetapi kadang-kadang saya membutuhkan sesuatu yang lebih kuat daripada himpunan bagian monokromatik "belaka". Ceritanya panjang, dan semuanya memalukan pada titik ini, tetapi jika ini mengarah pada sesuatu yang konkret, saya pasti akan menulis penjelasan terperinci di sini!
Jukka Suomela

@Jukka: Terima kasih telah berbagi ide-ide Anda, saya harap Anda akan segera menghasilkan sesuatu yang sangat menyenangkan! Adapun kasus ketika d adalah komposit, saya punya beberapa ide untuk menangani mereka, tetapi masih sedikit berantakan, saya akan berpikir selama beberapa jam lagi sebelum menuliskannya, jika ide-ide tidak berantakan. ..
Hsien-Chih Chang 張顯 之

@ Jukka: Saya menemukan kesalahan aneh di buktiku. Dalam Lemma 3, seharusnya tidak dianggap lebih kecil dari | X | , jadi lebih kecil dari d ? Kalau tidak, tidak mungkin untuk memiliki semua x i berbeda. Saya akan mencoba memperbaiki kesalahan. Tapi sekarang buktinya rusak ...k|X|dxsaya
Hsien-Chih Chang 張顯 之

6

Saya mungkin salah mengerti pertanyaan Anda, tetapi jika tidak, saya pikir itu salah. Warnai k-set yang anggotanya semuanya kongruen dengan warna merah, k-set lainnya dengan warna biru. Jika n> kd, maka setiap n-set harus mengandung k-set yang anggotanya semuanya modulru d kongruen dan karenanya merah. Di sisi lain, jika k-set berisi dua elemen berturut-turut dari n-set yang beragam, maka itu berwarna biru.


1
Ini pintar! Dan kita hanya perlu sebenarnya. Jawaban Anda mengesampingkan hampir semua kasus ... Sekarang satu-satunya kemungkinan adalah n ( k - 1 ) d , yang tidak terlalu banyak. n>(k-1)dn(k-1)d
Hsien-Chih Chang 張顯 之
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.