Saya menanyakan pertanyaan ini beberapa minggu yang lalu di mathoverflow , tetapi saya tidak mendapat jawaban.
Di sini, dengan 3D-grid sidelength maksud saya grafik G = ( V , E ) dengan V = { 1 , ... , k } 3 dan E = { ( ( a , b , c ) , ( x , y , z ) ) ∣ | a - x | + | b - y | + | c , yaitu, node ditempatkan pada koordinat integer 3 dimensi antara 1 dan k , dan sebuah node terhubung ke paling banyak 6 node lain yang berbeda dalam satu koordinat dengan satu.
Apa nama grafik ini? Saya akan menggunakan kisi 3D, tetapi mungkin kisi 3D atau kisi 3D adalah yang biasa digunakan orang lain.
Berapa treewidth atau pathwidth dari grafik ini? Apakah ini sudah diterbitkan di suatu tempat?
Aku sudah tahu bahwa , yaitu itu benar-benar lebih kecil dari k 2 . Bagi saya, ini menunjukkan bahwa argumen standar menunjukkan bahwa k × k 2D-grid memiliki treewidth dan pathwidth k tidak akan mudah digeneralisasi.
Untuk melihat ini, kami mempertimbangkan dekomposisi jalur yang "menyapu" grid menggunakan set simpul terutama dari bentuk . Amati | S c | ≤ ( 3 / 4 ) k 2 + O ( k ) , S 3 / 2 k menjadi set tersebut terbesar. Set antara S c dan dibuat dengan menyapu dengan garis dan membutuhkan O ( k ) simpul tambahan untuk menjadi pemisah. Lebih tepatnya, gunakan set S c , d = { ( x , y , z ) ∣ ( x + y + z = c ∧ x ≤ d ) ∨ ( x + y + z = c ∧ x ≥ d ) }sebagai dekomposisi jalur .
Saya juga punya ide untuk bukti yang menunjukkan , tetapi itu belum selesai.