Asal usul gagasan treewidth

Pertanyaan saya hari ini (seperti biasa) agak konyol; tapi saya akan meminta Anda untuk mempertimbangkannya.

Saya ingin tahu tentang asal-usul dan / atau motivasi di balik konsep treewidth. Saya yakin mengerti bahwa ini digunakan dalam algoritma FPT, tapi saya tidak berpikir bahwa itulah alasan mengapa gagasan ini didefinisikan.

Saya telah menulis catatan juru tulis tentang topik ini di kelas Prof Robin Thomas . Saya pikir saya mengerti beberapa aplikasi dari konsep ini (seperti di dalamnya mentransfer sifat pemisahan pohon ke grafik terurai), tetapi untuk beberapa alasan saya tidak benar-benar yakin bahwa alasan konsep ini dikembangkan adalah untuk mengukur kedekatan grafik. ke pohon.

Saya akan mencoba membuat diri saya lebih jelas (saya tidak yakin jika saya bisa, tolong beri tahu saya jika pertanyaannya tidak jelas). Saya ingin tahu apakah gagasan serupa ada di tempat lain di beberapa cabang matematika lain dari mana gagasan ini seharusnya "dipinjam". Tebakan saya akan menjadi topologi - tetapi karena kurangnya latar belakang saya, saya tidak bisa mengatakan apa-apa.

Alasan utama mengapa saya ingin tahu tentang ini adalah - pertama kali saya membaca definisinya, saya tidak yakin mengapa dan bagaimana orang memahami itu dan untuk apa. Jika pertanyaannya masih belum jelas saya akhirnya akan mencoba menyatakannya dengan cara ini - Mari kita berpura-pura gagasan treewidth tidak ada. Pertanyaan alami apa (atau ekstensi dari beberapa teorema / konsep matematika) untuk pengaturan diskrit akan mengarahkan seseorang untuk memahami definisi (izinkan saya menggunakan kata yang terlibat) sebagai treewidth.

Jika Anda benar-benar ingin tahu apa yang membuat Neil Robertson dan saya selebar pohon, itu bukan algoritma sama sekali. Kami mencoba untuk menyelesaikan dugaan Wagner bahwa dalam set grafik yang tidak terbatas, salah satunya adalah minor dari yang lain, dan kami benar pada awalnya. Kami tahu itu benar jika kami terbatas pada grafik tanpa jalur k-vertex; coba saya jelaskan mengapa. Kami tahu semua grafik memiliki struktur sederhana (lebih tepatnya, setiap grafik tanpa lintasan k-verteks memiliki struktur ini, dan setiap grafik dengan struktur ini tidak memiliki lintasan vertek 2 ^ k); dan kami tahu bahwa dalam setiap set grafik tanpa batas semua dengan struktur ini, salah satunya adalah minor dari yang lain. Jadi dugaan Wagner berlaku untuk grafik dengan batas panjang lintasan maksimum.

Kami juga tahu itu berlaku untuk grafik tanpa bintang-k sebagai minor, lagi-lagi karena kami memiliki teorema struktur untuk grafik tersebut. Kami mencoba mencari anak di bawah umur yang lebih umum yang memiliki teorema struktur yang sesuai yang bisa kami gunakan untuk membuktikan dugaan Wagner, dan itu membawa kami ke jalur lebar; kecualikan pohon APAPUN sebagai minor dan Anda mendapatkan lebar jalur yang dibatasi, dan jika Anda memiliki lebar jalur yang dibatasi maka ada pohon yang tidak dapat Anda miliki sebagai minor. (Itu adalah teorema yang sulit bagi kami; kami memiliki bukti yang sangat sulit di kertas Graph Minors pertama, jangan membacanya, itu bisa dibuat lebih mudah.) Tapi kita bisa membuktikan dugaan Wagner untuk grafik dengan lebar jalur yang dibatasi, dan itu berarti memang benar untuk grafik yang tidak mengandung pohon tetap sebagai minor; generalisasi besar jalur dan kasus bintang yang saya sebutkan sebelumnya.

Ngomong-ngomong, dengan selesai kami mencoba untuk melangkah lebih jauh. Kami tidak dapat membuat grafik umum, jadi kami memikirkan grafik planar. Kami menemukan teorema struktur untuk grafik planar yang tidak mengandung grafik planar tetap sebagai minor (ini mudah); itu dibatasi lebar pohon. Kami membuktikan bahwa untuk setiap grafik planar tetap, semua grafik planar yang tidak mengandungnya sebagai minor telah membatasi lebar pohon. Seperti yang dapat Anda bayangkan, itu sangat mengasyikkan; secara kebetulan, teorema struktur untuk mengecualikan grafik planar (di dalam grafik planar yang lebih besar) adalah twist alami pada teorema struktur untuk mengecualikan pohon (di dalam grafik umum). Kami merasa kami melakukan sesuatu yang benar. Dan itu mari kita buktikan dugaan Wagner untuk semua grafik planar, karena kita memiliki teorema struktur ini.

Karena lebar pohon bekerja untuk mengecualikan grafik planar di dalam grafik planar yang lebih besar, itu adalah pertanyaan alami apakah itu bekerja untuk mengecualikan grafik planar di dalam grafik non-planar - apakah benar bahwa untuk setiap grafik planar tetap, semua grafik tidak mengandungnya sebagai minor telah membatasi lebar pohon? Ini tidak dapat kami buktikan untuk waktu yang lama, tetapi itulah bagaimana kami harus berpikir tentang lebar pohon dari grafik umum. Dan begitu kami memiliki konsep lebar pohon, cukup jelas bahwa itu bagus untuk algoritma. (Dan ya, kami tidak tahu bahwa Halin sudah memikirkan lebar pohon.)

Begini caranya Anda bisa datang dengan konsep lebar pohon sendiri.

Misalkan Anda ingin menghitung jumlah set independen dalam grafik berikut.

Set independen dapat dipartisi menjadi yang mana simpul atas ditempati, dan yang mana tidak dihuni

Sekarang, perhatikan bahwa mengetahui apakah node teratas ditempati, Anda dapat menghitung jumlah set independen di setiap subproblem secara terpisah, dan mengalikannya. Mengulangi proses ini secara berulang memberi Anda sebuah algoritma untuk menghitung set independen berdasarkan pemisah grafik.

Sekarang, anggaplah Anda tidak lagi memiliki pohon. Ini berarti pemisah lebih besar, tetapi Anda dapat menggunakan ide yang sama. Pertimbangkan menghitung set independen dalam grafik berikut.

Gunakan ide yang sama untuk memecahkan masalah menjadi submasalah pada pemisah yang Anda dapatkan berikut ini

Seperti pada contoh sebelumnya, setiap istilah dalam penjumlahan terurai menjadi dua tugas penghitungan yang lebih kecil di pemisah.

Perhatikan bahwa kami memiliki lebih banyak istilah dalam jumlah daripada dalam contoh sebelumnya karena kami harus menghitung semua konfigurasi pada pemisah kami, yang berpotensi tumbuh secara eksponensial dengan ukuran pemisah (ukuran 2 dalam kasus ini).

Dekomposisi pohon adalah struktur data untuk menyimpan langkah-langkah partisi rekursif ini secara kompak. Perhatikan grafik berikut dan dekomposisi pohonnya

Untuk menghitung menggunakan dekomposisi ini, Anda harus terlebih dahulu memperbaiki nilai dalam node 3,6 yang memecahnya menjadi 2 sub-masalah. Dalam subproblem pertama Anda juga akan memperbaiki simpul 5, yang memecah bagiannya menjadi dua sub-bagian yang lebih kecil.

Ukuran separator terbesar dalam dekomposisi rekursif optimal adalah lebar pohon. Untuk masalah penghitungan yang lebih besar, ukuran separator terbesar mendominasi runtime, itulah mengapa kuantitas ini sangat penting.

Mengenai gagasan tentang lebar pohon yang mengukur seberapa dekat grafik dengan pohon, salah satu cara untuk membuatnya intuitif adalah dengan melihat derivasi alternatif dekomposisi pohon - dari korespondensi dengan grafik chordal. Pertama triangulasi grafik dengan melintasi simpul secara berurutan dan menghubungkan semua tetangga "lebih tinggi" dari setiap simpul.

Kemudian bangun dekomposisi pohon dengan mengambil klik maksimal dan menghubungkannya jika persimpangan mereka adalah pemisah maksimal.

Pendekatan separator dan triangulasi rekursif dalam membangun dekomposisi pohon adalah setara. Lebar pohon +1 adalah ukuran klik terbesar dalam triangulasi optimal grafik, atau jika grafik sudah triangulasi, hanya ukuran klik terbesar.

Jadi dalam arti tertentu, grafik chordal tw treewidth dapat dianggap sebagai pohon di mana alih-alih node tunggal kita memiliki tumpang tindih ukuran klik paling banyak tw + 1. Grafik non-chordal seperti "clique trees" dengan beberapa sisi klik yang hilang

Berikut adalah beberapa grafik chordal dan lebar pohonnya.

Saya percaya treewidth sendiri dimulai dengan kertas Robertson Seymour yang sudah diberikan. Tetapi beberapa prekursor sebelumnya tampaknya:

• Konsep "dimensi" grafik yang akan mengontrol perilaku algoritma proogram dinamis di atasnya, dari Bertelé, Umberto; Brioschi, Francesco (1972), Pemrograman Dinamik Nonserial .

• Konsep game pengejaran-penghindaran pada grafik, dari Parsons, TD (1976). "Mengejar-pengelakan dalam grafik". Teori dan Aplikasi Grafik . Springer-Verlag. hlm. 426-441. Salah satu varian dari ini kemudian terbukti setara dengan treewidth: Seymour, Paul D.; Thomas, Robin (1993), "Pencarian grafik dan teorema minimum untuk lebar pohon", Journal of Combinatorial Theory, Seri B 58 (1): 22–33, doi: 10.1006 / jctb.1993.1027 .

• Hirarki pemisah untuk grafik planar, mulai dari Ungar, Peter (1951), "Sebuah teorema pada grafik planar", Jurnal Masyarakat Matematika London 1 (4): 256, doi: 10.1112 / jlms / s1-26.4.256 , dan berlanjut dengan beberapa makalah oleh Lipton dan Tarjan pada 1979-1980. Ukuran pemisah terbesar dalam hierarki jenis ini terkait erat dengan treewidth.

Bergerak maju ke masa ketika ide-ide Robertson-Seymour mungkin sudah mulai melayang, ada juga sebuah makalah lebih awal dari Grafik Minors II yang secara eksplisit menghubungkan ide-ide pengejaran-penggelapan dan pemisahan, dan yang mendefinisikan gagasan lebar yang setara dengan pathwidth : Ellis, JA; Sudborough, IH; Turner, JS (1983), "Pemisahan grafik dan nomor pencarian", Proc. 1983 Allerton Conf. tentang Komunikasi, Kontrol, dan Komputasi.

Dalam monografnya tentang teori graf, Reinhard Diestel melacak konsep dekomposisi treewidth dan pohon kembali ke makalah 1976 oleh Halin (meskipun tidak menggunakan nama-nama ini). Dia juga atribut untuk makalah ini hasil bahwa grafik grid planar memiliki treewidth tanpa batas. Tentu saja, ia juga menyebutkan makalah selanjutnya oleh Robertson dan Seymour, yang "menemukan kembali konsepnya, jelas tidak mengetahui karya-karya Halin" (maaf jika terjemahan saya buruk).

• $S$
• Reinhard Diestel. Graphentheorie , edisi Jerman ke-3, Notizen zu Kapitel 10. (Beberapa edisi bahasa Inggris buku ini tersedia online untuk diunduh gratis.)

Gagasan lebar pohon [1] (dan gagasan serupa lebar cabang ) telah diperkenalkan oleh Robertson dan Seymour dalam makalah seminal mereka pada Graph Minors .

$G$$H$

Lihat: N. Robertson, PD Seymour. Grafik anak di bawah umur. II Aspek algoritma dari lebar pohon . JCT Seri B (1986)