Faktanya adalah mungkin untuk menunjukkan bahwa, untuk setiap cukup kecil (kurang dari 2 n / n ), ada fungsi yang dapat dihitung oleh sirkuit ukuran f ( n ) tetapi tidak oleh sirkuit ukuran f ( n ) - O ( 1 ) , atau bahkan f ( n ) - 1 , tergantung pada jenis gerbang yang Anda izinkan.f2n/ nf( n )f( n ) - O ( 1 )f( n ) - 1
Berikut adalah argumen sederhana yang menunjukkan bahwa ada fungsi yang dapat dihitung dalam ukuran tetapi bukan ukuran f ( n ) - O ( n ) .f( n )f( n ) - O ( n )
Kita tahu itu:
- ada fungsi yang membutuhkan kompleksitas sirkuit setidaknya 2 n / O ( n ) , dan, khususnya, kompleksitas sirkuit lebih dari f ( n ) .g2n/ O(n)f( n )
- fungsi sedemikian rupa sehingga z ( x ) = 0 untuk setiap input x dapat dihitung oleh sirkuit ukuran-konstan.zz( x ) = 0x
- jika dua fungsi dan g 2 berbeda hanya dalam satu input, maka kompleksitas sirkuitnya paling banyak berbeda dengan O ( n )g1g2O ( n )
Misalkan bukan nol pada input N. Sebut input seperti x 1 , ... , x N . Kita dapat mempertimbangkan, untuk setiap i , fungsi g i ( x ) yang merupakan fungsi indikator dari set { x 1 , ... , x i } ; dengan demikian g 0 = 0 dan g N = g .gNx1, ... , xNsayagsaya( x ){ x1, ... , xsaya}g0= 0gN= g
Jelas ada beberapa sedemikian rupa sehingga g i + 1 memiliki kompleksitas sirkuit lebih dari f ( n ) dan g i memiliki kompleksitas sirkuit kurang dari f ( n ) . Tetapi kemudian g i memiliki kompleksitas rangkaian kurang dari f ( n ) tetapi lebih dari f ( n ) - O ( n ) .sayagi + 1f( n )gsayaf( n )gsayaf( n )f( n ) - O ( n )