Apakah grafik edge-vertex dari ekspansion polytopes (layak)?

21

Pertanyaan ini terinspirasi oleh dugaan polinom Hirsch (PHC). Diberikan -facet polytope dalam , apakah celah spektral dari grafik sudut-ujungnya (sebut saja ) lebih rendah dibatasi oleh ? Perhatikan bahwa grafik siklus pada simpul menunjukkan bahwa, bahkan untuk , gap spektral bisa sekecil ; jadi dugaan yang diikat - jika benar - akan hampir kencang. $n$ $P$ $\mathbb R^d$ $G$ $\Omega(1/\mathrm{poly}(n))$ $n$ $d=2$ $O(1/\mathrm{poly}(n))$

Jawaban ya akan menyiratkan PHC. Bahkan, itu juga akan menyiratkan bahwa program linear dapat diselesaikan secara efisien hanya dengan berjalan secara acak pada simpul-simpul polytope, dan algoritma ini bahkan tidak terlalu memperhatikan fungsi objektif! Tampaknya ini terlalu bagus untuk menjadi kenyataan.

Jadi, apa status masalah ini: terbuka (seperti PHC), atau salah? Jika salah, adakah contoh tandingan sederhana?

Catatan : Saya baru menyadari tentang komplikasi yang biasa terjadi dalam mendefinisikan ekspander: tidak perlu teratur atau bipartit. Saya berharap bahwa kedua masalah teknis ini dapat diatasi dengan menggunakan cara standar, dan bahwa, khususnya, mereka tidak membuat pertanyaan saya sepele. (Mohon koreksi saya jika saya salah!) $G$

co.combinatorics linear-programming expanders

— Srivatsan Narayanan
sumber

Dapatkah seseorang menjelaskan bagaimana pertanyaan ini terkait dengan batas bawah subeksponensial baru untuk aturan pivot acak untuk algoritma simpleks? Oliver Friedmann, Thomas Dueholm Hansen, dan Uri Zwick. 2011. Batas bawah subeksponensial untuk aturan pivot acak untuk algoritma simpleks. Dalam Prosiding simposium ACM tahunan ke-43 tentang Teori komputasi (STOC '11). ACM, New York, NY, AS, 283-292. DOI = 10.1145 / 1993636.1993675 doi.acm.org/10.1145/1993636.1993675

— Tyson Williams

10

Untuk 0/1-polytopes (semua koordinat titik adalah 0 atau 1), ini tidak diketahui benar. Ada dugaan oleh Mihail dan Vazirani bahwa perluasan tepi grafik dari 0/1-polytope setidaknya satu. Informasi lebih lanjut dijelaskan dalam sebuah makalah oleh Volker Kaibel .

Saya harus mencatat dua hal. (1) Untuk 0/1-polytopes, dugaan Hirsch benar . (2) Saat melakukan jalan acak pada simpul-simpul polytope, kita perlu menjaga kemungkinan degenerasi. Satu dhuwur dapat berhubungan dengan banyak basis, sehingga jalan dapat tetap pada dhuwur yang sama jika kita melakukan jalan acak ke basis. Jika kita ingin melakukan jalan acak di atas simpul, kita perlu memiliki prosedur yang memberikan simpul berdekatan yang acak.

— Yoshio Okamoto
sumber

9

$n^{[d/2]}$

Saya membuktikan pemisahan 1 / poli (n) untuk polytopes "dua-ke-tetangga". (Ini adalah bidikan pertama saya pada dugaan polinomial Hiresch ".)" Diameter grafik poltopes cembung dan teori f-vektor "Geometri terapan dan matematika diskrit, 387-411, DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Compi. Sci. Compi. Compi. Sci. , 4, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991.

— Gil Kalai
sumber