Algoritma kuantum untuk sistem persamaan linear (HHL09): Langkah 2 - Apa itu


9

Ini adalah sekuel dari algoritma Quantum untuk sistem persamaan linear (HHL09): Langkah 1 - Kebingungan mengenai penggunaan algoritma estimasi fase dan algoritma Quantum untuk sistem persamaan linear (HHL09): Langkah 1 - Jumlah qubit yang dibutuhkan .


Dalam makalah: Algoritma Quantum untuk sistem persamaan linear (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , apa yang ditulis hingga bagian

Langkah selanjutnya adalah menguraikan |b di dasar vektor eigen, dengan menggunakan estimasi fase [5-7]. Dilambangkan oleh |uj vektor eigen dari A (atau ekuivalen, dari eiAt ), dan dengan λj yang sesuai eigen.

pada halaman 2 membuat beberapa akal bagi saya (kebingungan sampai ada telah dibahas dalam posting sebelumnya terkait di atas). Namun, bagian selanjutnya yaitu rotasi R(λ1) tampak agak samar.

Biarkan

|Ψ0:=2Tτ=0T1sinπ(τ+12)T|τ

untuk beberapa besar . Koefisien | Ψ 0 dipilih (berikut [5-7]) untuk meminimalkan fungsi kerugian kuadrat tertentu yang muncul dalam analisis kesalahan kita (lihat [13] untuk rincian).T|Ψ0

Selanjutnya, kami menerapkan evolusi Hamiltonian bersyarat pada | Ψ 0 C| b , di mana t 0 = O ( κ / ε ) .τ=0T1|ττ|CeiAτt0/T|Ψ0C|bt0=O(κ/ϵ)

Pertanyaan:

1. Apa sebenarnya itu ? Apa artinya T dan τ ? Saya tidak tahu dari mana ekspresi raksasa ini |Ψ0Tτtiba-tiba datang dari dan apa penggunaannya.

2Tτ=0T1sinπ(τ+12)T|τ

2. Setelah langkah estimasi fase, keadaan sistem kami tampaknya :

(j=1j=Nβj|uj|λ~j)|0ancilla

Ini pasti tidak dapat ditulis sebagai yaitu

(j=1j=Nβj|uj)(j=1j=N|λ~j)|0ancilla

|b(j=1j=N|λ~j)|0ancilla

Jadi, jelas bahwa tidak tersedia secara terpisah dalam daftar kedua. Jadi saya tidak tahu bagaimana mereka mempersiapkan negara seperti | Ψ 0 C| b di tempat pertama! Juga, apa yang C dalam superscript | Ψ 0 C masing menunjukkan?|b|Ψ0C|bC|Ψ0C

3. Di mana ungkapan ini tiba-tiba muncul? Apa gunanya mensimulasikannya? Dan apakah κ dalam O ( κ / ϵ ) ?τ=0T1|ττ|CeiAτt0/TκO(κ/ϵ)

Jawaban:


5

1. Definisi

Nama dan simbol yang digunakan dalam jawaban ini mengikuti yang didefinisikan dalam algoritma sistem linear Quantum: primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) . Penarikan dilakukan di bawah ini.

1.1 Mendaftar nama

Nama daftar didefinisikan pada Gambar 5. dari algoritma sistem linear Quantum: primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (direproduksi di bawah):

  • (1 qubit) adalah register ancilla yang digunakan untuk memeriksa apakah outputnya valid atau tidak.S
  • ( n qubits) adalah register jam, yaitu register yang digunakan untuk memperkirakan nilai eigen dari orang hamil dengan estimasi fase kuantum (QPE).Cn
  • ( m qubits) adalah register yang menyimpan sisi kanan persamaan A x = b . Ini menyimpan x , hasil dari persamaan, ketika S diukur menjadi | 1 pada akhir algoritma.ImAx=bxS|1

Algoritma HHL

2. Tentang :|Ψ0

  1. Apa sebenarnya ?|Ψ0

    adalah salah satu keadaan awal yang mungkin dari jam mendaftarC.|Ψ0C

  2. Apa artinya dan τ ?Tτ

    adalah bilangan bulat positif besar. T iniharus sebesar mungkin karena ekspresi | Ψ 0 asimtotik meminimalkan kesalahan diberikan untuk T tumbuh hingga tak terbatas. Dalam ungkapan | Ψ 0 , T akan menjadi 2 n , jumlah kemungkinan negara untuk jam kuantum C .TT|Ψ0T|Ψ0T2nC

    hanyalah indeks penjumlahanτ

  3. Mengapa ungkapan raksasa untuk ?|Ψ0

    Lihat posting DaftWullie untuk penjelasan terperinci.

    Mengikuti kutipan dalam algoritma Quantum untuk sistem persamaan linear (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v3) kita berakhir dengan:

    1. Versi sebelumnya dari makalah yang sama algoritma Quantum untuk sistem persamaan linear (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v2) . Penulis merevisi makalah ini 2 kali (ada 3 versi makalah HHL asli) dan versi n ° 3 tidak termasuk semua informasi yang disediakan dalam versi sebelumnya. Dalam V2 (bagian A.3. Mulai dari halaman 17), penulis memberikan analisis rinci kesalahan dengan keadaan awal khusus ini.
    2. |Ψ0|Ψopt

|Ψ0

|Ψ0|Ψ0

Algoritma estimasi fase mereka adalah:

  1. |Ψ0C
  2. CI|Ψ0|b
  3. Terapkan transformasi quantum Fourier ke status yang dihasilkan.

C|Ψ0C|Ψ0C

4. Simulasi Hamilton:

κA

τ=0T1|ττ|CeiAτt0/T

|ττ|CC

eiAτt0/TI|b

U=eiAτt0/T


3

|Ψ012

t

|ϕ=jβjλj|λj,
|b=jβj|λj2π/TeiAtT=2ttϕyy{0,1}tϕC(ϕ,ϕ)ϕϕ

|xx{0,1}tU

|Ψ0=x{0,1}tαx|x,
|Ψ0UUϕ
x{0,1}tαxeiϕx|x.
1Tx,y{0,1}teix(ϕ2πyM)αx|y.
yϕ=2πy/T
1T|x{0,1}teix(ϕ2πyT)αx|2
ϕ
C¯=12πT02πdϕy{0,1}t|x{0,1}teix(ϕ2πyT)αx|2C(ϕ,2πy/T),
αxC(ϕ,ϕ)C(ϕ,ϕ)ϕϕ
C¯=12π02πdϕ|x{0,1}teixϕαx|2C(ϕ),
|+Uϕ=|00|+eiϕ|11|Uϕ=|00|+eiϕ|11|
F=|+|UϕU|+|2=cos2(ϕϕ2),
C(ϕϕ)=sin2(ϕϕ2),
F=11FUtC(ϕϕ)
C¯=12π02πdϕ|x{0,1}teixϕαx|2sin2(12ϕ),
ϕ
12x,y=0T1αxαy(δx,y12δx,y112δx,y+1).
minΨ0|H|Ψ0
H=12x,y=0T1(δx,y12δx,y112δx,y+1)|xy|.
|Ψ0H
αx=2T+1sin((x+1)πT+1),
C¯
C¯=1212cos(πT+1).
TC¯1/T21/T yang akan kita dapatkan dari pilihan kopling seragam . Ini menghasilkan manfaat yang signifikan untuk analisis kesalahan.αx=1/T

Jika Anda ingin mendapatkan yang sama seperti yang dilaporkan dalam makalah HHL, saya yakin Anda harus menambahkan istilah ke Hamilton. Saya tidak punya pembenaran untuk melakukannya, tetapi ini mungkin kegagalan saya.|Ψ014(|0T1|+|T10|)

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.