Algoritma kuantum untuk sistem persamaan linear (HHL09): Langkah 2 - Apa itu

^{Ini adalah sekuel dari algoritma Quantum untuk sistem persamaan linear (HHL09): Langkah 1 - Kebingungan mengenai penggunaan algoritma estimasi fase dan algoritma Quantum untuk sistem persamaan linear (HHL09): Langkah 1 - Jumlah qubit yang dibutuhkan} .

Dalam makalah: Algoritma Quantum untuk sistem persamaan linear (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , apa yang ditulis hingga bagian

Langkah selanjutnya adalah menguraikan $|b\rangle$ di dasar vektor eigen, dengan menggunakan estimasi fase [5-7]. Dilambangkan oleh $|u_j\rangle$ vektor eigen dari $A$ (atau ekuivalen, dari $e^{iAt}$ ), dan dengan $\lambda_j$ yang sesuai eigen.

pada halaman $2$ membuat beberapa akal bagi saya (kebingungan sampai ada telah dibahas dalam posting sebelumnya terkait di atas). Namun, bagian selanjutnya yaitu rotasi $R(\lambda^{-1})$ tampak agak samar.

Biarkan
$| Ψ_{0} ⟩ := \sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩$ $|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$
untuk beberapa besar . Koefisien dipilih (berikut [5-7]) untuk meminimalkan fungsi kerugian kuadrat tertentu yang muncul dalam analisis kesalahan kita (lihat [13] untuk rincian). $T$ $|\Psi_0\rangle$

Selanjutnya, kami menerapkan evolusi Hamiltonian bersyarat pada , di mana . $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

Pertanyaan:

1. Apa sebenarnya itu ? Apa artinya dan ? Saya tidak tahu dari mana ekspresi raksasa ini $|\Psi_0\rangle$ $T$ $\tau$ tiba-tiba datang dari dan apa penggunaannya.

\sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩

$\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$

2. Setelah langkah estimasi fase, keadaan sistem kami tampaknya :

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩ \otimes | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

Ini pasti tidak dapat ditulis sebagai yaitu

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩) \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

| b ⟩ \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$|b\rangle\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

Jadi, jelas bahwa tidak tersedia secara terpisah dalam daftar kedua. Jadi saya tidak tahu bagaimana mereka mempersiapkan negara seperti di tempat pertama! Juga, apa yang dalam superscript masing menunjukkan? $|b\rangle$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $C$ $|\Psi_0\rangle^{C}$

3. Di mana ungkapan ini tiba-tiba muncul? Apa gunanya mensimulasikannya? Dan apakah dalam ? $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $\kappa$ $\mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

algorithm hhl-algorithm hamiltonian-simulation

— Sanchayan Dutta
sumber

Jawaban:

1. Definisi

Nama dan simbol yang digunakan dalam jawaban ini mengikuti yang didefinisikan dalam algoritma sistem linear Quantum: primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) . Penarikan dilakukan di bawah ini.

1.1 Mendaftar nama

Nama daftar didefinisikan pada Gambar 5. dari algoritma sistem linear Quantum: primer (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (direproduksi di bawah):

(1 qubit) adalah register ancilla yang digunakan untuk memeriksa apakah outputnya valid atau tidak. $S$
( qubits) adalah register jam, yaitu register yang digunakan untuk memperkirakan nilai eigen dari orang hamil dengan estimasi fase kuantum (QPE). $C$ $n$
( qubits) adalah register yang menyimpan sisi kanan persamaan . Ini menyimpan , hasil dari persamaan, ketika diukur menjadi pada akhir algoritma. $I$ $m$ $Ax = b$ $x$ $S$ $\left|1\right>$

2. Tentang : $\left|\Psi_0\right>$

Apa sebenarnya ? $\left|\Psi_0\right>$

adalah salah satu keadaan awal yang mungkin dari jam mendaftar. $\left|\Psi_0\right>$ $C$
Apa artinya dan ? $T$ $\tau$

adalah bilangan bulat positif besar. iniharus sebesar mungkin karena ekspresi asimtotik meminimalkan kesalahan diberikan untuk tumbuh hingga tak terbatas. Dalam ungkapan , akan menjadi , jumlah kemungkinan negara untuk jam kuantum . $T$ $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $2^n$ $C$

hanyalah indeks penjumlahan $\tau$
Mengapa ungkapan raksasa untuk ? $\left|\Psi_0\right>$

Lihat posting DaftWullie untuk penjelasan terperinci.

Mengikuti kutipan dalam algoritma Quantum untuk sistem persamaan linear (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v3) kita berakhir dengan:
1. Versi sebelumnya dari makalah yang sama algoritma Quantum untuk sistem persamaan linear (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v2) . Penulis merevisi makalah ini 2 kali (ada 3 versi makalah HHL asli) dan versi n ° 3 tidak termasuk semua informasi yang disediakan dalam versi sebelumnya. Dalam V2 (bagian A.3. Mulai dari halaman 17), penulis memberikan analisis rinci kesalahan dengan keadaan awal khusus ini.
2. $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_{opt}\right>$

$\left|\Psi_0\right>$

$\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_0\right>$

Algoritma estimasi fase mereka adalah:

$\left|\Psi_0\right>$ $C$
$C$ $I$ $\left|\Psi_0\right>\otimes \left|b\right>$
Terapkan transformasi quantum Fourier ke status yang dihasilkan.

$C$ $\left| \Psi_0 \right>^C$ $\left| \Psi_0 \right>$ $C$

4. Simulasi Hamilton:

$\kappa$ $A$

$\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$

$|\tau\rangle \langle \tau|^{C}$ $C$

$e^{iA\tau t_0/T}$ $I$ $\left|b\right>$

$U = e^{iA\tau t_0/T}$

— Awal
sumber

$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle}\newcommand{\proj}[1]{|#1\rangle\langle#1|}\newcommand{\half}{\frac12}$ $|\Psi_0\rangle$ $\frac12$

$t$

| ϕ ⟩ = \sum_{j} \frac{β_{j}}{λ_{j}} | λ_{j} ⟩,

$\ket{\phi}=\sum_j\frac{\beta_j}{\lambda_j}\ket{\lambda_j},$

| b ⟩ = \sum_{j} β_{j} | λ_{j} ⟩

$\ket{b}=\sum_j\beta_j\ket{\lambda_j}$

2 π / T

$2\pi/T$

e^{- i A t}

$e^{-iAt}$

T = 2^{t}

$T=2^t$

t

$t$

ϕ_{y}

$\phi_y$

y \in {0, 1}^{t}

$y\in\{0,1\}^t$

ϕ

$\phi$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ

$\phi$

$\ket{x}$ $x\in\{0,1\}^t$ $U$

| Ψ_{0} ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} | x ⟩,

$\ket{\Psi_0}=\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_x\ket{x},$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

U

$U$

U

$U$

ϕ

$\phi$

\sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} e^{i ϕ x} | x ⟩ .

$\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_xe^{i\phi x}\ket{x}.$

\frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{x, y \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{M})} α_{x} | y ⟩ .

$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{x,y\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{M}\right)}\alpha_x\ket{y}.$

y

$y$

ϕ^{'} = 2 π y / T

$\phi'=2\pi y/T$

\frac{1}{T} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2}

$\frac{1}{T}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2$

ϕ

$\phi$

\bar{C} = \frac{1}{2 π T} \int_{0}^{2 π} d ϕ \sum_{y \in {0, 1}^{t}} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2} C (ϕ, 2 π y / T),

$\bar C=\frac{1}{2\pi T}\int_0^{2\pi}d\phi\sum_{y\in\{0,1\}^t}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2C(\phi,2\pi y/T),$

α_{x}

$\alpha_x$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

ϕ - ϕ^{'}

$\phi-\phi'$

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} C (ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2C(\phi),$

| + ⟩

$\ket{+}$

U_{ϕ} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_\phi=\proj{0}+e^{i\phi}\proj{1}$

U_{ϕ^{'}} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ^{'}} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_{\phi'}=\proj{0}+e^{i\phi'}\proj{1}$

F = {| ⟨ + | U_{ϕ^{'}}^{†} U | + ⟩ |}^{2} = \cos^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$F=\left|\bra{+}U_{\phi'}^\dagger U\ket{+}\right|^2=\cos^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

C (ϕ - ϕ^{'}) = \sin^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$C(\phi-\phi')=\sin^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

F = 1

$F=1$

1 - F

$1-F$

U^{t}

$U^t$

C (ϕ - ϕ^{'})

$C(\phi-\phi')$

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} \sin^{2} (\frac{1}{2} ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2\sin^2\left(\half\phi\right),$

ϕ

$\phi$

\frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} α_{x} α_{y}^{⋆} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) .

$\half\sum_{x,y=0}^{T-1}\alpha_x\alpha_y^\star(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1}).$

min ⟨ Ψ_{0} | H | Ψ_{0} ⟩

$\min\bra{\Psi_0}H\ket{\Psi_0}$

H = \frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) | x ⟩ ⟨ y | .

$H=\half\sum_{x,y=0}^{T-1}(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1})\ket{x}\bra{y}.$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

H

$H$

α_{x} = \sqrt{\frac{2}{T + 1}} \sin (\frac{(x + 1) π}{T + 1}),

$\alpha_x=\sqrt{\frac{2}{T+1}}\sin\left(\frac{(x+1)\pi}{T+1}\right),$

\bar{C}

$\bar C$

\bar{C} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{T + 1}) .

$\bar C=\half-\half\cos\left(\frac{\pi}{T+1}\right).$

T

$T$

\bar{C}

$\bar C$

1 / T^{2}

$1/T^2$

1 / T

$1/T$ yang akan kita dapatkan dari pilihan kopling seragam . Ini menghasilkan manfaat yang signifikan untuk analisis kesalahan.

α_{x} = 1 / \sqrt{T}

$\alpha_x=1/\sqrt{T}$

Jika Anda ingin mendapatkan yang sama seperti yang dilaporkan dalam makalah HHL, saya yakin Anda harus menambahkan istilah ke Hamilton. Saya tidak punya pembenaran untuk melakukannya, tetapi ini mungkin kegagalan saya. $|\Psi_0\rangle$ $-\frac14\left(\ket{0}\bra{T-1}+\ket{T-1}\bra{0}\right)$

— DaftWullie
sumber

Algoritma kuantum untuk sistem persamaan linear (HHL09): Langkah 2 - Apa itu

Pertanyaan:

1. Definisi

1.1 Mendaftar nama

2. Tentang :|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

4. Simulasi Hamilton:

2. Tentang : $\left|\Psi_0\right>$

$\left|\Psi_0\right>$