Beberapa loop kontrol dengan efek yang tumpang tindih

Saya terbiasa menggunakan PID untuk melakukan kontrol loop tertutup ketika ada output tunggal dan sinyal kesalahan tunggal untuk seberapa baik output mencapai set-point yang diinginkan.

Anggaplah, bagaimanapun, ada beberapa loop kontrol, masing-masing dengan satu output dan satu sinyal kesalahan, tetapi loop tidak sepenuhnya independen. Secara khusus, ketika satu loop meningkatkan sinyal aktuatornya, ini mengubah dampak output dari loop lain dalam sistem.

Sebagai contoh konkret, bayangkan sebuah sumber tegangan secara seri dengan sebuah resistor, menerapkan tegangan melintasi sistem enam resistor yang dapat disesuaikan secara paralel. Kami dapat mengukur arus melalui masing-masing resistor dan kami ingin mengontrol arus masing-masing resistor secara mandiri dengan menyesuaikan resistansi. Tentu saja, triknya di sini adalah ketika Anda mengatur resistansi satu resistor, itu mengubah resistansi keseluruhan dari rangkaian paralel, yang berarti ia mengubah penurunan tegangan karena pembagi dengan resistansi sumber tegangan dan karenanya mengubah arus melalui resistor lainnya. .

Sekarang, jelas kita memiliki model yang ideal untuk sistem ini, sehingga kita dapat memprediksi hambatan apa yang harus kita gunakan untuk semua resistor secara bersamaan dengan menyelesaikan serangkaian persamaan linear. Namun, seluruh titik kontrol loop tertutup adalah bahwa kami ingin memperbaiki berbagai kesalahan / bias yang tidak diketahui dalam sistem yang menyimpang dari model ideal kami. Pertanyaannya kemudian: apa cara yang baik untuk menerapkan kontrol loop tertutup ketika Anda memiliki model dengan cross-coupling semacam ini?

control pid

— Dan Bryant
sumber

Biasanya dengan m eberapa i nput, m eberapa o utput (MIMO) sistem, seorang insinyur kontrol menggunakan negara umpan balik kontroler . Gaya pengontrol ini memanfaatkan model ruang-negara dari sistem dan umumnya berbentuk:

\dot{x} = A x + B u y = C x + D u

$\dot{x}=\mbox{A}x+\mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

di mana adalah vektor negara, adalah vektor input, adalah vektor output, dan turunan waktu dari state, , menunjukkan bagaimana negara berkembang dari waktu ke waktu, sebagaimana ditentukan oleh kombinasi negara dan input . Output juga ditentukan oleh interaksi antara status dan input, tetapi output dapat berupa kombinasi apa pun, sehingga status keluaran dan matriks input berbeda - dan . $x$ $u$ $y$ $\dot{x}$ $\mbox{A}$ $\mbox{B}$ $\mbox{C}$ $\mbox{D}$

Saya tidak akan membahas banyak detail mengenai kontrol umpan balik negara, tetapi secara umum, matriks "map" atau mengaitkan status tertentu atau input ke status atau input lain. Misalnya, jika Anda ingin memodelkan sistem persamaan diferensial yang tidak terkait, Anda akan mendapatkan sesuatu seperti: $\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$

\dot{x} = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}]

{\dot{x}}_{1} = k_{1} x_{1} {\dot{x}}_{2} = k_{2} x_{2} {\dot{x}}_{3} = k_{3} x_{3}

$\dot{x}_1 = k_1 x_1 \\ \dot{x}_2 = k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 = k_3 x_3 \\$

Jika Anda ingin menambahkan input ke persamaan untuk dan input ke , maka Anda dapat menambahkan istilah : $u_1$ $\dot{x}_1$ $u_2$ $\dot{x}_3$ $\mbox{B}u$

\dot{x} = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} u_{1} \\ u_{2} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$

Jika Anda ingin menyimpan ini, tetapi Anda berpikir keadaan itu berkontribusi terhadap bagaimana berubah, Anda dapat menambahkan interaksi itu: $x_1$ $x_2$

\dot{x} = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ k_{x_{1} \to x_{2}} & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} u_{1} \\ u_{2} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ \boxed{ k_{x_1 \rightarrow x_2} } & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$

Ketika Anda menulis ini sekarang, Anda mendapatkan:

\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} & = & k_{1} x_{1} + u_{1} \\ {\dot{x}}_{2} & = & k_{x_{1} \to x_{2}} x_{1} + k_{2} x_{2} \\ {\dot{x}}_{3} & = & k_{3} x_{3} + u_{2} \end{matrix}

$\begin{array} \\ \dot{x}_1 & = & k_1 x_1 + u_1 \\ \dot{x}_2 & = & k_{x_1 \rightarrow x_2}x_1 + k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 & = & k_3 x_3 + u_2 \end{array}$

Anda dapat terus membangun kompleksitas sesuai kebutuhan sistem Anda. Setelah Anda memiliki model, untuk kontrol umpan balik keadaan, Anda perlu memastikan bahwa sistemnya linier , karena sistem tidak memiliki fungsi trigonometri atau satu keadaan yang menggandakan dirinya sendiri atau keadaan lain, dan memastikan bahwa itu adalah waktu yang tidak berubah , karena matriks tidak berubah seiring waktu - tidak ada fungsi (t) di dalamnya. Anda mungkin dapat membuat beberapa penyederhanaan, seperti perkiraan sudut kecil untuk membantu memasukkan matriks Anda ke formulir LTI yang diperlukan untuk langkah selanjutnya. $\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$ $\mbox{A}$

Sekarang Anda dapat "menutupi" seluruh sistem ke dalam dua persamaan rapi yang pertama kali ditampilkan, menyembunyikan seluruh matriks hanya dengan huruf 'A', dll. Dengan Transformasi Laplace Anda dapat (lambaian tangan) mengevaluasi yang tidak terkontrol , dinamika loop terbuka sistem. Anda melakukan ini dengan menemukan kutub sistem , yang dalam istilah menunjukkan respons sistem. $\mbox{A}$

Anda juga dapat mengevaluasi sistem untuk melihat apakah itu dapat dikontrol , artinya Anda dapat menggunakan input Anda untuk mengubah semua status dengan cara yang unik, dan untuk melihat apakah itu dapat diamati , yang berarti bahwa Anda benar-benar dapat menentukan apa nilai-nilai dari negara adalah.

Jika sistem dapat dikontrol, Anda dapat mengambil informasi tentang status, , dan memasukkannya ke dalam sistem, menggunakan informasi yang Anda miliki tentang status untuk mengarahkannya ke nilai yang diinginkan. Hanya menggunakan dua persamaan awal untuk kejelasan, ketika Anda menambahkan sinyal kontrol ke input yang Anda dapatkan: $-\mbox{G}x$

\dot{x} = A x + B (u - G x) y = C x + D u

$\dot{x} = \mbox{A}x + \mbox{B}(u - \mbox{G}x) \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

yang menjadi:

\dot{x} = A x - BG x + B u y = C x + D u

$\dot{x} = \mbox{A}x - \mbox{BG}x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

yang dapat diatur ulang sebagai:

\dot{x} = [A - BG] x + B u y = C x + D u

$\dot{x} = [\mbox{A}-\mbox{BG}]x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

Di mana sebelum respons sistem Anda digerakkan oleh matriks , sekarang ia digerakkan oleh . Anda dapat mengevaluasi kembali kutub melalui transformasi Laplace, tetapi sekarang Anda memiliki matriks gain yang dapat Anda gunakan untuk menyetel pengontrol, menempatkan kutub di mana pun Anda inginkan, yang menetapkan respons waktu untuk menjadi apa pun yang Anda inginkan. $\mbox{A}$ $\mbox{A-BG}$ $\mbox{G}$

Proses berlanjut, dengan pengaturan pengamat untuk membandingkan keluaran sistem aktual dengan keluaran yang diprediksi model . Di sinilah penting untuk dicatat bahwa output tidak harus kombinasi yang sama dari keadaan seperti yang Anda gunakan dalam persamaan diferensial keadaan - di mana keadaan Anda mungkin arus keluaran Anda mungkin tegangan ( ) jadi Anda dapat membuat perbandingan dengan sinyal yang dapat diukur pada sistem Anda yang sebenarnya. $y$ $\hat{y}$ $R\times I$

Seperti yang saya katakan, ada banyak informasi yang terlibat dengan sistem pemodelan dan merancang pengontrol umpan balik keadaan, saya hanya menguraikan proses umum karena saya percaya ini adalah ruang lingkup yang Anda cari dengan pertanyaan Anda.

— Chuck
sumber

Terima kasih, ini adalah dasar yang bagus untuk penelitian lebih lanjut.

— Dan Bryant

jawaban yang bagus, tl; dr; nilai skalar yang menggambarkan sistem SISO menjadi matriks untuk sistem MIMO, "cross-coupling" dapat dilihat pada nilai off-diagonal dalam matriks.

— Bending Unit 22