bawah Gaussian

Pertanyaan ini mengarah dari pertanyaan berikut. /math/360275/e1-1x2-under-a-normal-distribution

Pada dasarnya apa itu bawah Gaussian . Saya mencoba menulis ulang sebagai campuran skalar dari Gaussians ( ). Ini juga terhenti, kecuali kalian punya trik di bawah ikat pinggang Anda. $E\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$ $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ $\frac{1}{1+x^2}$ $\propto \int\mathcal{N}(x|0,\tau^{-1})Ga(\tau|1/2,1/2)d\tau$

Jika integral ini tidak analitis, apakah ada batasan yang masuk akal?

normal-distribution expected-value bounds

— sachinruk
sumber

mengapa Anda tidak dapat melakukan hal yang sama seperti pada pertanyaan yang Anda tautkan? (yang menyiratkan itu bukan analitik (karena mengevaluasi erfc dengan beberapa konstanta)

— seanv507

Karena saya tidak mengikuti apa yang telah dia lakukan sepenuhnya. Juga erfc baik

— sachinruk

Jawaban:

Biarkan menjadi Normal PDF dan menjadi PDF dari distribusi t Student dengan satu df Karena PDF variabel Normal adalah (dengan simetri), harapannya sama dengan $f_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$ $(0,\sigma)$ $g(x) = \frac{1}{\pi}\left(1+x^2\right)^{-1}$ $(\mu,\sigma)$ $X$ $f_\sigma(x-\mu) = f_\sigma(\mu-x)$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = E_{σ, μ} (π g (X)) = \int_{R} f_{σ} ((μ - x)^{2}) π g (x) d x .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\pi g(X)\right) = \int_\mathbb{R} f_\sigma\left((\mu-x)^2\right) \pi g(x)dx.$

Ini adalah rumus yang menentukan untuk konvolusi . Hasil paling mendasar dari analisis Fourier adalah bahwa transformasi Fourier dari konvolusi adalah produk dari transformasi Fourier . Selain itu, fungsi karakteristik (cf) adalah (hingga kelipatan yang sesuai) Transformasi Fourier dari PDF. The cf dari normal distribusi adalah $(f\star \pi g)(\mu)$ $(0,\sigma)$

{\hat{f}}_{σ} (t) = \exp (- t^{2} σ^{2} / 2)

$\widehat{f}_\sigma(t) = \exp(-t^2\sigma^2/2)$

dan c dari distribusi t Student ini adalah

\hat{g} (t) = \exp (- | t |) .

$\widehat{g}(t) = \exp(-|t|).$

(Keduanya dapat diperoleh dengan metode dasar.) Nilai transformasi Fourier terbalik dari produk mereka di adalah, menurut definisi, $\mu$

\frac{1}{2 π} \int_{R} {\hat{f}}_{σ} (t) π \hat{g} (t) \exp (- i t μ) d t = \frac{1}{2} \int_{R} \exp (- t^{2} σ^{2} / 2 - | t | - i t μ) d t .

$\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} \widehat{f}_\sigma(t)\pi\widehat{g}(t) \exp(-i t \mu) dt =\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \exp(-t^2\sigma^2/2-|t|-i t \mu) dt.$

Perhitungannya adalah dasar: jalankan secara terpisah selama interval dan untuk menyederhanakanuntuk dan , masing-masing, dan menyelesaikan kuadrat setiap kali. Integral yang mirip dengan CDF Normal diperoleh - tetapi dengan argumen yang kompleks. Salah satu cara untuk menulis solusinya adalah $(-\infty,0]$ $[0,\infty)$ $|t|$ $-t$ $t$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \frac{\sqrt{\frac{π}{2}} e^{- \frac{(μ + i)^{2}}{2 σ^{2}}} (e^{\frac{2 i μ}{σ^{2}}} erfc (\frac{1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) - erf (\frac{- 1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) + 1)}{2 σ} .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{-\frac{(\mu +i)^2}{2 \sigma ^2}} \left(e^{\frac{2 i \mu }{\sigma ^2}} \text{erfc}\left(\frac{1+i \mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)-\text{erf}\left(\frac{-1+i\mu}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)}{2 \sigma }.$

Di sini, adalah fungsi kesalahan komplementer di mana $\text{erfc}(z) = 1 - \text{erf}(z)$

erf (z) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{z} \exp (- t^{2}) d t .

$\text{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z \exp(-t^2)dt.$

Kasus khusus adalah yang ekspresi ini dikurangi menjadi $\mu=0, \sigma=1$

E_{1, 0} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0.65567954241879847154 \dots .

$\mathbb{E}_{1, 0}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.65567954241879847154\ldots.$

Berikut adalah plot kontur (pada sumbu logaritmik untuk ). $\mathbb{E}_{\sigma,\mu}$ $\sigma$

Angka

— whuber
sumber

+1. Catatan kecil: sama dengan untuk saya yang setuju dengan @ jawaban numerik fabee.

\sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}})

$\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

0.6556795424 \dots

$0.6556795424\ldots$

— COOLSerdash

Bagus. Saya benar-benar benar-benar merindukan bahwa ini adalah kepadatan jumlah variabel Gaussian dan terdistribusi t (hingga normalisasi). +1 untuk menurunkan rumus umum untuk dan sewenang-wenang .

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— Fabee

@COOL Terima kasih - Saya menyalin jawaban yang salah. (Saya melakukan beberapa perhitungan numerik; yang saya salah laporkan sebenarnya untuk .) Saya akan menempelkan yang benar.

μ = 1, σ = 1 / 2

$\mu=1,\sigma=1/2$

— whuber

Ini adalah ide bagaimana menyelesaikannya yang menggunakan identitas yang diusulkan oleh Did here . Anda bisa menggunakannya

\frac{1}{S} = \int_{0}^{\infty} \exp (- t S) d t

$\frac{1}{S}=\int_0^\infty \exp(-tS)dt$

\begin{aligned} E (\frac{1}{x^{2} + 1}) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- t (x^{2} + 1)) \exp (- \frac{x^{2}}{2}) d x d t \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- t) {(1 + 2 t)}^{- \frac{1}{2}} d t \\ = \sqrt{\frac{e π}{2}} {[erf (\sqrt{t + \frac{1}{2}})]}_{0}^{\infty} \\ = \sqrt{\frac{e π}{2}} (1 - erf (\sqrt{\frac{1}{2}})) \end{aligned}

$\begin{align}E\left(\frac{1}{x^2+1}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-t(x^2+1)\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm dx \mathrm dt\\ &=\int_0^\infty \exp\left(-t\right)\left(1+2t\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm dt\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left[\mbox{erf}\left(\sqrt{t+\frac{1}{2}}\right)\right]_0^\infty\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left(1-\mbox{erf}\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\end{align}$

— Fabee
sumber

+1 Untuk pendekatannya. Saya percaya faktor tidak termasuk dalam hasilnya.

1 / \sqrt{2 π}

$1/\sqrt{2\pi}$

— whuber

Itulah konstanta normalisasi untuk Gaussian (berasal dari ekspektasi). Jadi, kecuali saya kehilangan sesuatu, saya pikir itu memang ada di sana.

\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$

— Fabee

Anda telah menggabungkan fungsi kesalahan dengan CDF Gaussian: mereka tidak sama. Coba kalkulasi numerik - Anda akan melihat kesalahan.

— whuber

Anda benar, faktornya salah. Tapi itu terjadi sebelum saya menggunakan fungsi kesalahan. Saya menghitung ekspektasi wrt dan lupa untuk menghapus konstanta normalisasi sesudahnya. Terima kasih atas petunjuknya.

\exp (- t x^{2})

$\exp(-t x^2)$

x

$x$

— fabee