Menafsirkan Koefisien Regresi Setelah Berbagai Perbedaan

Ada beberapa penjelasan yang dapat saya temukan yang menggambarkan bagaimana menafsirkan koefisien regresi linier setelah membedakan deret waktu (untuk menghilangkan unit root). Apakah ini begitu sederhana sehingga tidak perlu menyatakannya secara formal?

(Saya mengetahui pertanyaan ini , tetapi tidak yakin seberapa umum tanggapannya).

Katakanlah kita tertarik pada model mana adalah ARMA (p, q). Ini adalah , , ... yang menarik. Khususnya interpretasi dalam hal "perubahan 1 unit dalam menghasilkan perubahan rata-rata dalam dari " untuk $Y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1t}+\beta_{2}X_{2t} + +...+\beta_{p}X_{pt}+ \delta_{t}$ $\delta_{t}$ $\beta_{1}$ $\beta_{2}$ $\beta_{p}$ $X_{i}$ $Y_{t}$ $\beta_{i}$ $i = 1...p.$

Sekarang katakanlah kita perlu membedakan karena dicurigai tidak stasioner dari unit root (mis. Tes ADF). Kita perlu juga membedakan dengan cara yang sama, masing-masing . $Y_{t}$ $X_{it}$

Apa interpretasi dari jika: $\beta_{i}$

Perbedaan pertama diambil dari dan masing-masing ? $Y'_{t}$ $Y_{t}$ $X_{it}$
Perbedaan kedua (selisih perbedaan) ( ) diambil dari dan masing-masing ? $Y''_{t}$ $Y_{t}$ $X_{it}$
Sebuah perbedaan musiman (misalnya $(1-B^{12})$ untuk data bulanan) diambil dari $Y_{t}$ dan masing-masing $X_{it}$ ?

EDIT 1

Saya memang menemukan satu teks yang menyebutkan perbedaan dan interpretasi koefisien dan sepertinya sangat mirip dengan pertanyaan terkait. Ini dari Alan Pankratz Forecasting dengan Regresi Dinamis halaman 119-120:

— B_Miner
sumber

Bolehkah saya berasumsi bahwa deret waktunya bulanan? Bahwa Y dan X adalah log-transformasi variabel ekonomi?

Pertanyaannya lebih tentang interpretasi umum dan jika berbagai bentuk perbedaan, mungkin dengan kesalahan ARMA, mengubah interpretasi dari regresi yang tidak berbeda. Jadi, jangan masuk log :)

— B_Miner

Ya tapi interpretasi dapat sesederhana adalah peningkatan pertumbuhan dari untuk peningkatan satuan dalam pertumbuhan dari . Di mana 'pertumbuhan' adalah pertumbuhan bulan ke bulan untuk pertanyaan Anda dan 'pertumbuhan' tahun-ke-tahun untuk pertanyaan Anda. Pertumbuhan adalah pertumbuhan absolut dari y tetapi jika y adalah transformasi log dari maka itu adalah pertumbuhan relatif dari z. Apakah itu semacam interpretasi yang Anda minta?

β_{1}

$\beta_1$

y

$y$

x_{1}

$x_1$

z

$z$

Komentar ini menambah kebingungan saya pada topik. Saya menemukan contoh di mana penafsiran tidak berubah sama sekali karena beta tidak berubah setelah berbeda, tetapi Anda menyiratkan (saya pikir) bahwa seseorang perlu menggunakan kata pertumbuhan yang menyiratkan (saya pikir) bahwa penafsiran berubah menjadi data yang berbeda ( perubahan Y, perubahan X).

— B_Miner

Agak terkait jawaban di sini .

— Richard Hardy

Jawaban:

Mari kita ambil contoh dengan satu variabel independen karena itu lebih mudah dalam mengetik.

Ketika Anda mulai dari maka hal yang sama berlaku untuk . $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $y_{t-1}=\beta_0 + \beta_1 x_{t-1}$

Jadi jika saya kurangi keduanya maka saya mendapatkan . Oleh karena itu interpretasi koefisien tidak tidak mengubahnya, adalah sama di masing-masing persamaan ini. $\Delta y= \beta_1 \Delta x$ $\beta_1$ $\beta_1$

Tetapi interpretasi dari persamaan tidak sama dengan interpretasi dari persamaan . Itu maksud saya. $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $\Delta y= \beta_1 \Delta x$

Jadi adalah perubahan dalam untuk perubahan satuan dalam tetapi juga perubahan dalam pertumbuhan untuk perubahan satuan dalam pertumbuhan . $\beta_1$ $y$ $x$ $y$ $x$

Alasan untuk membedakannya adalah 'teknis': jika seri ini tidak stasioner, maka saya tidak dapat memperkirakan dengan OLS. Jika seri yang dibedakan itu stasioner, maka saya dapat menggunakan estimasi dari persamaan sebagai estimasi untuk dalam persamaan , karena itu adalah yang sama . $y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$ $\Delta y= \beta_1 \Delta x$ $\beta_1$ $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$

Jadi pembedaan adalah trik 'teknis' untuk menemukan perkiraan dalam ketika seri tidak-stasioner. Trik ini menggunakan fakta bahwa sama muncul dalam persamaan yang dibedakan. $\beta_1$ $y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$

Jelas ini tidak berbeda jika ada lebih dari satu variabel independen.

Catatan: semua ini merupakan konsekuensi dari linieritas model, jika maka , jadi adalah sekaligus perubahan untuk suatu unit perubahan dalam tetapi juga perubahan dalam pertumbuhan y untuk perubahan satuan dalam pertumbuhan , itu adalah sama . $y=\alpha x + \beta$ $\Delta y = \alpha \Delta x$ $\alpha$ $y$ $x$ $x$ $\alpha$

Jadi interpretasinya adalah dua-duanya. Tetapi poin utamanya adalah jika ada perbedaan (jenis apa pun dari ketiga pertanyaan saya atau kombinasinya) beta asli yang tidak dibeda-bedakan masih diperkirakan (jadi pertanyaan penelitian awal yang menarik masih tersedia). Benar? Apakah itu masih berlaku jika ada kesalahan Arma?

— B_Miner

Nah, jika Anda memperkirakan dari persamaan diferensial, maka taksiran ini juga merupakan taksiran untuk dalam persamaan tak terdiferensiasi (karena itu adalah sama ). Intinya adalah bahwa, dalam persamaan yang Anda lakukan estimasi, seri harus stasioner, maka semuanya baik-baik saja (kalau tidak Anda tidak mendapatkan estimator dengan sifat yang diinginkan seperti ketidakberpihakan). Kelemahan tentu saja adalah Anda tidak dapat memperkirakan dengan cara ini, jadi jika Anda menginginkan perkiraan untuk Anda harus melihat integrasi bersama.

β_{1}

$\beta_1$

{\hat{β}}_{1}

$\hat{\beta}_1$

β_{1}

$\beta_1$

β_{1}

$\beta_1$

β_{0}

$\beta_0$

β_{0}

$\beta_0$

Pencegatan jarang menarik meskipun tampaknya, yang lebih penting adalah B1 ke BP yang merupakan koefisien pada variabel bunga kontinu atau dummy. Dan hanya untuk clairify, tidak ada perubahan dalam hal ini jika kesalahan tidak iid tapi kami menggunakan kesalahan ARMA? Saya kira orang perlu mempertimbangkan bahwa dalam penafsiran dengan atau tanpa perbedaan yang benar (karena "semua yang lain sederajat" termasuk nilai lagged (dengan AR) yang Anda kendalikan)?

— B_Miner

Kesalahan ARMA tidak mengubah apa pun menjadi interpretasi. Satu-satunya masalah teknis adalah bahwa, setelah membedakan Anda harus memiliki seri stasioner yang lain, perkiraan bias, jadi jika Anda memiliki kesalahan ARMA tetapi setelah membedakan Anda mendapatkan seri stasioner, maka menurut saya semuanya baik-baik saja.

β_{1}

$\beta_1$

Untuk perbedaan musiman, Anda juga mendapatkan sama dalam persamaan diferensial seperti pada persamaan 'asli', jadi semuanya tetap valid. Faktanya, apa pun yang Anda lakukan, selama Anda dapat menunjukkan bahwa setelah manipulasi Anda memiliki sama , alasannya tetap valid.

β_{1}

$\beta_1$

β_{1}

$\beta_1$

Ambil Fungsi Transfer akhir dan ungkapkan kembali sebagai persamaan sisi kanan murni. Dalam bentuk ini akan menjadi PDL atau ADL. Interpretasi akan mengikuti seperti biasa. Saya menerapkan opsi itu dalam AUTOBOX dan menyebutnya sisi RIGHT-HAND. Jika Anda memposting kumpulan data dan model yang ingin Anda gunakan, saya akan dengan senang hati memposting hasilnya.

DIedit: UNTUK MENAMPILKAN CONTOH ILLUSTRATIF UNTUK MENGUJI HIPOTESIS KOEFISIENSI YANG SAMA:

Saya mengambil kumpulan data GASX (X pertama kemudian Y) dari teks Box-Jenklins yang tersedia di sini http://www.autobox.com/stack/GASX.ASC dan memperkirakan Fungsi Transfer pada seri yang tidak terdiferensiasi dan diperoleh

Saya kemudian memperkenalkan perbedaan sederhana pada Y dan X dan diperoleh . Hipotesis bahwa koefisiennya sama ditolak. Koefisiennya serupa tetapi jelas tidak sama. Saya kemudian mencoba untuk memperkenalkan koefisien MA (dekat 1.) untuk menyelesaikan latihan aljabar mengalikan melalui [1-B] tetapi itu tidak mereproduksi hasil yang tidak berbeda juga.

Singkatnya: Jawabannya adalah mereka berbeda tetapi itu mungkin karena istilah konstan yang dihilangkan dalam kasus yang tidak berbeda.

Saya memutuskan untuk mensimulasikan dua seri white noise (X1 dan Y1) dan memperkirakan model OLS untuk mereka tanpa syarat dan hasil konstan. Saya kemudian mengintegrasikan seri nosie putih X1 dan Y1 dan mendapatkan dua seri baru (X2 dan Y2). Berikut ini adalah hasil dari model OLS untuk X2 DAN Y2 [ masukkan deskripsi gambar di sini ] [4 Koefisien regresi yang dihasilkan hampir identik (variasi kecil karena 1 pengamatan kurang dalam studi X2, Y2. Dengan demikian saya dapat menyimpulkan bahwa kasus ini terbukti (atau tidak). ditolak) bahwa koefisien regresi sebanding. Perhatikan bahwa ketika saya memperkenalkan konstanta dalam (X1 versus Y1) koefisien regresi tidak sama. Rupanya ada persyaratan bahwa konstanta tidak boleh dimasukkan ke dalam kasus dasar (tidak terdiferensiasi). Temuan setuju dengan @ f coppens.

— IrishStat
sumber

Saya tidak mengikuti - fungsi transfer? Bisakah Anda menunjukkan apa yang Anda maksud?

— B_Miner

Fungsi transfer umum berbentuk: Yt = μ + [(ω0 − ω1B1 −.....− ωsBs) / 1 − δ1B1 − ... δrBr)] Xt − b + et di mana et memiliki struktur arima

— IrishStat

Apakah saya mengambil dari jawaban Anda bahwa interpretasi dari benar-benar berubah dengan perbedaan? Saya tidak yakin bagaimana cara membangun fungsi transfer dari apa yang saya miliki di pertanyaan saya.

β_{i}

$\beta_{i}$

— B_Miner

Interpretasi βi ketika tidak ada perbedaan yang berlaku adalah bahwa tingkat Y dipengaruhi sedangkan jika perbedaan ada di tempat perubahan Y dipengaruhi.

— IrishStat

Lihatlah tautan di pertanyaan saya. Tampaknya dikatakan di sini bahwa interpretasi untuk model yang berbeda persis sama dengan level. Apakah Anda menyarankan ini bukan masalahnya? Saya bingung dengan apa yang tampak seperti perbedaan (tidak ada kata pun yang dimaksudkan) dalam jawaban.

— B_Miner