Momen / mgf cosinus vektor pengarah?

Adakah yang bisa menyarankan bagaimana saya dapat menghitung momen kedua (atau seluruh fungsi menghasilkan momen) dari cosinus dari dua vektor acak gaussian , masing-masing didistribusikan sebagai , independen satu sama lain? IE, momen untuk variabel acak berikut $x,y$ $\mathcal N (0,\Sigma)$

\frac{⟨ x, y ⟩}{‖ x ‖ ‖ y ‖}

$\frac{\langle x, y\rangle}{\|x\|\|y\|}$

Pertanyaan terdekat adalah fungsi menghasilkan Momen dari produk dalam dari dua vektor acak gaussian yang memperoleh MGF untuk produk dalam. Ada juga jawaban ini dari mathoverflow yang menghubungkan pertanyaan ini dengan distribusi nilai eigen dari matriks kovarian sampel, tetapi saya tidak segera melihat bagaimana menggunakannya untuk menghitung momen kedua.

Saya menduga bahwa skala momen kedua sebanding dengan setengah norma nilai eigen $\Sigma$ karena saya mendapatkan hasil ini melalui manipulasi aljabar untuk 2 dimensi, dan juga untuk 3 dimensi dari tebak-dan-periksa. Untuk nilai eigen $a,b,c$ menambahkan hingga 1, momen kedua adalah:

(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^{- 2}

$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{-2}$

Menggunakan berikut ini untuk pemeriksaan numerik

val1[a_, b_, c_] := (a + b + c)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c])^2
val2[a_, b_, c_] := Block[{},
  x := {x1, x2, x3};
  y := {y1, y2, y3};
  normal := MultinormalDistribution[{0, 0, 0}, ( {
      {a, 0, 0},
      {0, b, 0},
      {0, 0, c}
     } )];
  vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
  NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]

  val1[1.5,2.5,3.5] - val2[1.5,2.5,3.5]

Memeriksa rumus untuk 4 variabel (dalam batas numerik):

val1[a_, b_, c_, 
  d_] := (a + b + c + d)/(Sqrt[a] + Sqrt[b] + Sqrt[c] + Sqrt[d])^2
val2[a_, b_, c_, d_] := Block[{},
  x := {x1, x2, x3, x4};
  y := {y1, y2, y3, y4};
  normal := 
   MultinormalDistribution[{0, 0, 0, 
     0}, {{a, 0, 0, 0}, {0, b, 0, 0}, {0, 0, c, 0}, {0, 0, 0, d}}];
  vars := {x \[Distributed] normal, y \[Distributed] normal};
  NExpectation[(x.y/(Norm[x] Norm[y]))^2, vars]]

val1[0.5, 1.5, 2.5, 3.5] - val2[0.5, 1.5, 2.5, 3.5]

— Yaroslav Bulatov
sumber

Karena kebebasan rotasi, karena cosinus adalah invarian di bawah rotasi, salah satu vektor dapat diasumsikan sebagai vektor satuan dalam arah apa pun yang paling nyaman. Itu harus menyederhanakan masalah sedikit, ke momen kedua cosinus sehubungan dengan . EDIT: Sebenarnya, ini tergantung pada simetri .

x \in N (0, Σ)

$x \in \mathcal{N}(0,\Sigma)$

(1, 0, 0, \dots)

$(1,0,0,\ldots)$

Σ

$\Sigma$

— jwimberley

jawaban w huber di sini mungkin menarik: stats.stackexchange.com/a/85977/37483

— ekvall

@ Student001 memang, angka 1 / n yang diperoleh dalam pertanyaan itu tampaknya menjadi kasus khusus dari rumus ini, karena kami menghapus derajat kebebasan dengan menormalkan jejak matriks kovarians ke 1

— Yaroslav Bulatov

Selain itu: Perhatikan bahwa, wlog, diagonal.

Σ

$\Sigma$

— kardinal

Saya menemukan pertanyaan tentang distribusi yang ditanyakan setidaknya 3 kali pada crossvalidated, jadi semoga posting ini akan mempopulerkan gagasan "proyeksi distribusi normal" sehingga tidak lagi menjadi pertanyaan ! :)

\frac{x}{‖ x ‖}

$\frac{x}{\|x\|}$

— Henry.L

Hai Yaroslav, Anda benar-benar tidak perlu tergesa-gesa menerima jawaban saya di MO dan lebih dari disambut untuk menanyakan detail lebih lanjut :).

Karena Anda merumuskan kembali pertanyaan dalam 3-redup, saya dapat melihat apa yang ingin Anda lakukan. Dalam posting MO saya pikir Anda hanya perlu menghitung cosinus terbesar antara dua variabel acak. Sekarang masalahnya tampaknya lebih sulit.

Pertama, kita menghitung Gaussian yang dinormalisasi , yang bukan pekerjaan sepele karena sebenarnya memiliki nama "proyeksi distribusi normal" karena kita dapat menulis ulang kepadatan normal multivariat dalam hal ini koordinat kutub . Dan kepadatan marginal untuk dapat diperoleh di $\frac{X}{\|X\|}$ $X$ $(\|X\|,\frac{X}{\|X\|})=(r,\boldsymbol{\theta})$ $\boldsymbol{\theta}$

\int_{R^{+}} f (r, θ) d r

$\int_{\mathbb{R}^{+}}f(r,\boldsymbol{\theta})dr$

Contoh penting adalah bahwa di mana memiliki distribusi normal bivariat , di mana dikatakan memiliki proyeksi normal ( atau angular Gaussian atau offset normal ) distribusi. [Mardia & Peter] hal.46 $x$ $N_2(\mu,\Sigma)$ $\|x\|^{-1}x$

Pada langkah ini kita dapat memperoleh distribusi untuk , dan karenanya kepadatan sambungannya karena kemerdekaan. Adapun fungsi kepadatan beton dari distribusi normal yang diproyeksikan, lihat [Mardia & Peter] Bab 10. atau [2] Persamaan (4) atau [1]. (Perhatikan bahwa pada [2] mereka juga mengasumsikan bentuk khusus dari matriks kovarians ) $\mathcal{PN}_{k}$ $\frac{X}{\|X\|}\perp\frac{Y}{\|Y\|}$ $(\frac{X}{\|X\|},\frac{Y}{\|Y\|})$ $\Sigma=\left(\begin{array}{cc} \Gamma & \gamma\\ \gamma' & 1 \end{array}\right)$

Kedua, karena kita sudah mendapatkan kerapatan sambungannya, produk dalamnya dapat dengan mudah diturunkan menggunakan rumus transformasi . Lihat juga [3].

(\frac{X}{‖ X ‖}, \frac{Y}{‖ Y ‖}) \mapsto \frac{X}{‖ X ‖} \cdot \frac{Y}{‖ Y ‖}

$(\frac{X}{\|X\|},\frac{Y}{\|Y\|})\mapsto\frac{X}{\|X\|}\cdot\frac{Y}{\|Y\|}$

Selama kita menghitung kerapatan, momen kedua hanyalah masalah integrasi.

Referensi

[Mardia & Peter] Mardia, Kanti V., dan Peter E. Jupp. Statistik terarah. Vol. 494. John Wiley & Sons, 2009.

[1] Wang, Fangpo, dan Alan E. Gelfand. "Analisis data terarah di bawah distribusi normal yang diproyeksikan secara umum." Metodologi statistik 10.1 (2013): 113-127.

[2] Hernandez-Stumpfhauser, Daniel, F. Jay Breidt, dan Mark J. van der Woerd. "Jenderal memproyeksikan distribusi normal dimensi sewenang-wenang: pemodelan dan inferensi Bayesian." Analisis Bayesian (2016). https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ba/1453211962

[3] Fungsi pembangkit momen dari produk dalam dari dua vektor acak gaussian

— Henry
sumber

@YaroslavBulatov Semoga ini sepadan dengan hadiah Anda!

— Henry.L

Jawaban yang saya posting di MO tidak persis seperti yang diinginkan OP karena saya berpikir bahwa dia sedang mencari sudut kanonik. salahku.

— Henry.L

Bisakah Anda memberikan bukti bahwa asumsi matriks kovarian identitas adalah wlog? Tidak jelas bagi saya. Itu "mudah" untuk menunjukkan klaim kardinal bahwa matriks diagonal adalah wlog, tetapi bagaimana Anda menyingkirkan nilai eigen?

— ekvall

@ Student001 Jika , maka memiliki matriks kovarian identitas.

Σ = P^{'} Λ P

$\Sigma=P'\Lambda P$

P X

$PX$

— Henry.L

Tidak, jika adalah dekomposisi spektral , maka sebagai matriks kovarians , yang tidak perlu menjadi identitas, jadi setidaknya langkah itu tidak membenarkan wlog Mungkin komentar terakhir Anda tidak Saya tidak yakin.

P^{'} Λ P

$P'\Lambda P$

Σ

$\Sigma$

P X

$PX$

Λ

$\Lambda$

Σ = I

$\Sigma = I$

— ekvall