Operasi trigonometri pada standar deviasi

Penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian variabel acak normal didefinisikan dengan baik, tetapi bagaimana dengan operasi trigonometri?

Sebagai contoh, mari kita anggap bahwa saya sedang berusaha mencari sudut baji segitiga (dimodelkan sebagai segitiga sudut kanan) dengan dua dimensi catheti memiliki dan , baik digambarkan sebagai distribusi normal. $d_1$ $d_2$

Baik intuisi maupun simulasi memberi tahu saya bahwa distribusi yang dihasilkan normal, dengan rata-rata $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$ . Tetapi apakah ada cara untuk menghitung distribusi sudut yang dihasilkan? Referensi di mana saya akan menemukan jawabannya?

(Untuk sedikit konteks, saya sedang mengerjakan toleransi statistik bagian-bagian mekanik. Dorongan pertama saya adalah mensimulasikan seluruh proses, memeriksa apakah hasil akhirnya cukup normal, dan menghitung standar deviasi. Tapi saya bertanya-tanya jika mungkin ada pendekatan analitis yang lebih rapi.)

— Bossykena
sumber

Bisakah Anda mengonfirmasi bahwa (a) d1 dan d2 adalah panjang sisi (dan bukan sudut); (B) bahwa Anda mengasumsikan sudut di antara mereka adalah sudut yang benar (karena kalau tidak rumus atan diduga); dan (c) Anda tertarik pada distribusi salah satu sudut segitiga siku-siku ini? Juga, mungkin, SD dari setiap distribusi panjang jauh lebih kecil dari yang diharapkan karena segitiga seharusnya tidak memiliki probabilitas yang cukup untuk panjang sisi negatif :-).

— whuber

Tepat. Saya telah mengulangi masalahnya agar lebih jelas. Dan ya, SD akan relatif kecil terhadap dimensi.

— Bossykena

Menggunakan rumus untuk perkalian dan penambahan, Anda dapat mencoba ekspansi Taylor.

Terima kasih atas kedua jawaban Anda yang luar biasa, yang (sejauh yang dapat saya katakan dengan keahlian statistik saya yang terbatas) bersifat intuitif dan baik.

— Bossykena

Jawaban:

Dalam interpretasi ini, segitiga adalah segitiga siku-siku panjang sisi dan didistribusikan secara biner dengan harapan dan , standar deviasi dan , dan korelasi . Kami mencari distribusi . Untuk tujuan ini, standarisasi dan sehingga $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

dan

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

dengan dan varian normal standar dengan korelasi . Biarkan menjadi sudut dan untuk kenyamanan tulis . Kemudian $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

Sisi kiri, yang merupakan kombinasi linear dari Normals, adalah normal, dengan rata-rata dan varians . $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

Membedakan cdf Normal dari parameter ini sehubungan dengan $\theta$ yields the pdf of the angle. The expression is fairly grisly, but a key part of it is the exponential

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

showing right away that the angle is not normally distributed. However, as your simulations show and intuition suggests, it should be approximately normal provided the variations of the side lengths are small compared to the lengths themselves. In this case a Saddlepoint approximation ought to yield good results for specific values of $\mu_x$ , $\mu_y$ , $\sigma_x$ , $\sigma_y$ , and $\rho$ , even though a closed-form general solution is not available. The approximate standard deviation will drop right out upon finding the second derivative (with respect to $\theta$ ) of the logarithm of the pdf (as shown in equations (2.6) and (3.1) of the reference). I recommend a computer algebra system (like MatLab or Mathematica) for carrying this out!

— whuber
sumber

There was never any chance of it being normally distributed. It is an angle! It only takes values on

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$ .

— Robby McKilliam

P(Y/X

\leq

$\le$ q) = P(Y

\leq

$\le$ qX) is not correct if X is a normal r.v. - X can be negative too.

— ronaf

@ronaf: actually, since

X

$X$ and

Y

$Y$ are the side lengths of a physical triangle, we should not have negative

X

$X$ !

— shabbychef

@ronaf: That's the right idea. If one uses signed side lengths and also considers the angle as a real value (rather than its value modulo

2 π

$2\pi$ ), there is no inconsistency with normality in either case. Your point about the inequality possibly being wrong is excellent. All I can do in response is to claim that the equation is an excellent approximation under the assumptions made because the chance of X or Y being negative is negligible.

— whuber

@YBE I agree that the last "+" in my expression looks like it doesn't belong--it might have slipped in when I was cleaning up the TeX markup. I don't have a reference because I computed the derivative myself.

— whuber

You are looking at circular statistics and in particular a circular distribution called the projected normal distribution.

For some reason this topic can be a little hard to google, but the two major texts on circular statistics are The Statistical Analysis of Circular Data by Fisher and Directional Statistics by Mardia and Jupp.

For a thorough analysis of the projected normal distribution see page 46 of Mardia and Jupp. There are closed form expressions (up to the error function integral) for the distribution, and as whuber has suggested, it looks similar to the normal when its `variance' (careful here, what does variance mean for a random variable on a circle?!) is small, i.e. when the distribution is quite concentrated at one point (or direction or angle).

— Robby McKilliam
sumber