Nilai yang diharapkan dan varian fungsi penelusuran

Untuk variabel acak , dan matriks semi-pasti positif : Apakah ada ekspresi yang disederhanakan untuk nilai yang diharapkan, dan varians , ? Harap dicatat bahwa bukan variabel acak. $X \in \mathbb{R}^h$ $A$ $\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$ $Var[Tr(X^TAX)]$ $A$

— mobil jenazah
sumber

Karena adalah skalar, sehingga . $X^TAX$

Tr (X^{T} A X) = X^{T} A X = Tr (A X X^{T})

$\text{Tr}(X^TAX)= X^TAX = \text{Tr}(AXX^T)$

E (X^{T} A X) = E (Tr (A X X^{T})) = Tr (E (A X X^{T})) = Tr (A E (X X^{T}))

$\text{E}(X^TAX) = \text{E}(\text{Tr}(AXX^T)) = \text{Tr}(\text{E} (A XX^T)) = \text{Tr}(A\text{E}(XX^T))$

Di sini kita telah menggunakan bahwa jejak suatu produk adalah invarian di bawah permutasi siklikal dari faktor-faktor, dan bahwa jejak tersebut adalah operator linier, jadi pergi dengan harapan. Perbedaannya adalah perhitungan yang jauh lebih terlibat, yang juga membutuhkan momen lebih tinggi . Perhitungan itu dapat ditemukan di Seber: "Analisis Regresi Linier" (Wiley) $X$

— kjetil b halvorsen
sumber

Mengapa ?

T r (X^{T} A X) = X^{T} A X

$Tr(X^T AX) = X^T AX$

— Aqqqq

Karena adalah angka

X^{T} A X

$X^TAX$

— kjetil b halvorsen