Lengkapi statistik yang cukup

Saya baru-baru ini mulai mempelajari kesimpulan statistik. Saya telah mengatasi berbagai masalah dan ini membuat saya benar-benar bingung.

Misalkan menjadi sampel acak dari distribusi diskrit yang ditetapkan dengan probabilitas nilai , di mana adalah bilangan bulat. Tunjukkan bahwa tidak ada statistik yang cukup lengkap. $X_1,\dots,X_n$ $\frac{1}{3}$ $\theta-1,\space\theta,\space\text{or}\space\theta+1$ $\theta$

Ada ide?

— Tony
sumber

Apa yang kamu miliki sejauh ini?

— gung - Reinstate Monica

Saya dapat menulis kemungkinan sebagai: kali produk dari fungsi indikator bahwa setiap pengamatan sama dengan . Dari sini sepertinya statistik yang cukup adalah statistik urutan. Saya sudah memikirkan hal ini selama berhari-hari, seperti belum pernah saya lihat sebelumnya.

(\frac{1}{3})^{n}

$(\frac{1}{3})^n$

θ - 1, θ, or θ + 1

$\theta-1,\space\theta,\space\text{or}\space\theta+1$

— Tony

Apa yang Anda ketahui tentang kelengkapan?

— Glen_b -Reinstate Monica

Statistik, , selesai jika memenuhi syarat bahwa, untuk beberapa fungsi , jika , maka

T

$T$

g (T)

$g(T)$

E [g (T)] = 0

$E[g(T)]=0$

g (T) = 0

$g(T)=0$

a . e .

$a.e.$

— Tony

Jadi, Anda perlu menemukan contoh tandingan ... statistik pendukung apa yang dapat Anda temukan dari sampel minimum & maksimum?

— Scortchi

(1) Tunjukkan bahwa untuk ukuran sampel , , di mana adalah minimum sampel & maksimum sampel, minimal memadai. $n$ $T=\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right)$ $X_{(1)}$ $X_{(n)}$

(2) Temukan distribusi sampling dari rentang & karenanya harapannya . Ini akan menjadi fungsi dari saja, bukan dari (yang merupakan hal penting, & yang mungkin dapat Anda tunjukkan tanpa menyebutkannya dengan tepat). $R=X_{(n)}-X_{(1)}$ $\newcommand{\E}{\operatorname{E}}\E R$ $n$ $\theta$

(3) Maka cukup biarkan . Ini bukan fungsi , & harapannya adalah nol; namun tidak pasti sama dengan nol: karena itu tidak lengkap. Karena cukup memadai, maka dari teorema Bahadur tidak ada statistik yang cukup lengkap. $g(T)=R-\E R$ $\theta$ $T$ $T$

— Scortchi - Reinstate Monica
sumber

Bisakah Anda memberikan referensi untuk teorema Bahadur di mana dinyatakan bahwa jika statistik yang cukup minimal tidak lengkap, maka statistik yang cukup lengkap tidak ada? Saya sedang mencari hasil ini, tetapi tidak dapat menemukannya di mana pun.

— StubbornAtom

@StubbornAtom: Teorema Bahadur menyatakan bahwa jika sebuah statistik lengkap, statistik tersebut cukup minimal (memberikan statistik minimum yang cukup ada sama sekali). Jadi, sekali Anda menunjukkan bahwa statistik minimum yang cukup ada & tidak lengkap, Anda tidak perlu khawatir tentang kemungkinan statistik lengkap yang tidak memadai. (Atau tentu saja tentang kemungkinan statistik lengkap lainnya yang cukup minimal - semuanya adalah fungsi satu-ke-satu).

— Scortchi - Reinstate Monica

Kalau dipikir-pikir, akan lebih mudah untuk mengatakan bahwa , yang cukup minimal, adalah beberapa fungsi dari setiap statistik cukup , & oleh karena itu juga berlaku untuk menunjukkan ketidaklengkapan .

T

$T$

f (\cdot)

$f(\cdot)$

S

$S$

g (T) = g (f (S))

$g(T)=g(f(S))$

S

$S$

— Scortchi