MCMC pada ruang parameter yang dibatasi?

Saya mencoba menerapkan MCMC pada suatu masalah, tetapi prior saya (dalam kasus saya mereka adalah )) dibatasi pada suatu area? Dapatkah saya menggunakan MCMC normal dan mengabaikan sampel yang berada di luar zona terbatas (yang dalam kasus saya [0,1] ^ 2), yaitu menggunakan kembali fungsi transisi ketika transisi baru keluar dari area terbatas (terbatas)? $\alpha\in[0,1],\beta\in[0,1]$

— Cupitor
sumber

Lihatlah: xianblog.wordpress.com/tag/constrained-parameter-spaces

— Zen

@ Zen, saya tidak begitu yakin tetapi jawaban yang disarankan oleh Xian adalah untuk subsampel, tetapi alih-alih menggunakan MH, untuk menggunakan Gibbs sampler dan menegaskan kembali jika salah satu nilai dari dimensi melebihi batas, apakah saya benar?

— Cupitor

Jika MH mengusulkan sesuatu di luar ruang parameter, probabilitas penerimaan hanya diatur ke

dan semuanya berfungsi dengan baik. Saya pikir MH hanya menafsirkan

sebagai

(manifestasi dari

dalam teori ukuran).

0

$0$

0 / 0

$0/0$

0

$0$

0 \cdot \infty = 0

$0 \cdot \infty = 0$

— pria

@ guy, tetapi menurut diskusi di halaman xian (tautan di atas oleh Zen), sepertinya Gibbs memiliki keunggulan tanpa menyebutkan alasan apa pun!

— Cupitor

@ Pengacara Saya tidak melihat dia mengatakan itu. Saya pikir implikasinya adalah bahwa Gabriel melakukan Metropolis-di dalam Gibbs.

— pria

Anda memiliki beberapa opsi yang bagus, lebih atau kurang sederhana. Seragam Anda sebelumnya membantu membuatnya lebih sederhana.

Opsi 1: Sampler kemerdekaan. Anda bisa mengatur distribusi proposal Anda sama dengan distribusi seragam di atas unit square, yang memastikan bahwa sampel tidak akan jatuh di luar zona terbatas, seperti yang Anda sebut. Potensi downside: jika posterior terkonsentrasi di wilayah yang sangat kecil dari unit square, Anda mungkin memiliki tingkat penerimaan yang sangat rendah. OTOH, sulit untuk menghasilkan angka acak lebih cepat daripada dari distribusi U (0,1). Potensi terbalik: kurang bekerja untuk Anda.

Opsi 2: Ubah parameter Anda menjadi sesuatu yang tidak dibatasi, buat proposal untuk parameter yang diubah, lalu ubah kembali parameter untuk digunakan dalam fungsi kemungkinan. Perhatikan bahwa dalam hal ini prior akan berada pada parameter yang diubah, karena itulah tujuan Anda membuat proposal, jadi Anda harus mengacaukan Jacobian dari transformasi untuk mendapatkan prior yang baru. Untuk analisis Anda, tentu saja, Anda akan mengubah nomor acak parameter yang dihasilkan MCMC kembali ke parameter asli. Potensi downside: lebih banyak pekerjaan awal untuk Anda. Sisi positif utama: tingkat penerimaan yang lebih baik untuk proposal Anda.

Opsi 3: Bangun distribusi proposal selain sampler independen yang ada di unit square. Ini memungkinkan Anda untuk menjaga seragam Anda sebelumnya, tetapi dengan biaya kompleksitas yang lebih besar ketika menghitung probabilitas proposal. Contohnya, membiarkan menjadi nilai saat ini dari salah satu parameter Anda, akan menjadi distribusi Beta dengan parameter . Semakin besar , semakin terkonsentrasi proposal Anda akan berada di sekitar nilai saat ini. Potensi downside: lebih banyak pekerjaan awal untuk Anda. Sisi positif utama: tingkat penerimaan yang lebih baik untuk proposal Anda - tetapi jika Anda menghasilkan $x$ $(nx, n(1-x))$ $n$ $n$ terlalu besar, dan bergerak dekat ke sudut, Anda mungkin berakhir membuat banyak gerakan kecil di sudut sebelum keluar.

Opsi 4: Hanya menolak proposal yang berada di luar unit square (saran setengah hati Xian). Perhatikan bahwa ini tidak sama dengan hanya menghasilkan proposal lain; dalam hal ini Anda menolak proposal, yang berarti nilai Anda berikutnya untuk parameter sama dengan nilai saat ini untuk parameter. Ini berfungsi karena apa yang akan terjadi jika Anda memiliki probabilitas nol sebelumnya untuk beberapa wilayah ruang parameter Anda dan menghasilkan angka acak yang jatuh di wilayah itu. Potensi downside: jika Anda mendekati sudut, Anda mungkin memiliki probabilitas penerimaan yang rendah dan macet untuk sementara waktu. Potensi terbalik: kurang bekerja untuk Anda.

Opsi 5: Buat masalah diperpanjang pada bidang yang, pada unit square, sama dengan masalah aktual yang Anda hadapi, lakukan semuanya dengan benar, lalu, saat pasca-pemrosesan hasil pengambilan sampel MCMC, buang semua sampel di luar dari unit square. Potensi terbalik: Jika sangat mudah untuk membuat masalah yang diperluas, mungkin kurang berhasil untuk Anda. Potensi downside: jika rantai Markov berkeliaran di suatu tempat di luar unit square untuk sementara waktu, Anda mungkin memiliki, pada dasarnya, kemungkinan penerimaan yang mengerikan, karena Anda akan membuang sebagian besar sampel Anda.

Tidak diragukan lagi ada pilihan lain, saya akan tertarik untuk melihat apa yang orang lain sarankan!

Perbedaan antara 2 dan 3 sampai batas tertentu konseptual, meskipun dengan implikasi nyata untuk apa yang sebenarnya Anda lakukan. Saya mungkin akan pergi dengan 3, karena saya hanya akan membiarkan R memberi tahu saya apa kemungkinan proposal (jika saya memprogram dalam R) dan jumlah usaha ekstra, selain dari beberapa penyetelan parameter distribusi proposal , terlihat kecil untukku. Jika saya menggunakan JAGS atau BUGS, tentu saja, itu akan menjadi masalah yang berbeda, karena alat-alat itu menangani proposal mereka sendiri. $n$

— Jbowman
sumber

Pilih! Terima kasih banyak untuk jawaban menyeluruh seperti itu, tetapi ada beberapa poin yang saya berjuang untuk mengikuti: 1) Sebenarnya ruang parameter berasal dari segmen-garis di kotak dan karenanya sangat sulit untuk mendapatkan dengan sampling seragam saya kira 2) Ini sebenarnya bukan ide yang cukup bagus. Untuk memberikan ilustrasi sederhana, bayangkan untuk memperluas sampel yang dibatasi hanya dengan menetapkan probabilitas area luar menjadi nol! Ini akan membuat proses konvergensi sangat lambat, saya kira dan itu mungkin akan mirip dengan subsampling

— Cupitor

3) Masalah dengan ide ini adalah bahwa proposal Anda tidak dapat dibalik dan oleh karena itu mungkin terjadi bahwa skema pengambilan sampel yang dihasilkan mungkin bukan yang ergodik lagi!

— Cupitor

4) adalah cara saya mencoba dan terlihat masuk akal (IMH!) 5) Yang ini sepertinya menderita dari contoh yang saya sebutkan di 2 dan ketika Anda mengatakan diri Anda mungkin memberikan tingkat penerimaan yang mengerikan!

— Cupitor

(0, inf)

$(0,\inf)$

x \in (0, 1)

$x \in (0,1)$

β

$\beta$

α = 2.5

$\alpha=2.5$

(0.5, 1)

$(0.5,1)$

α = 3.2

$\alpha=3.2$

(0, 0.8)

$(0,0.8)$

α = 0.2

$\alpha=0.2$

(0.2, 0)

$(0.2,0)$