Konsekuensi dari keberadaan algoritma polinomial yang kuat untuk pemrograman linier?

Salah satu grails suci dari desain algoritma adalah menemukan algoritma yang sangat polinomial untuk pemrograman linier, yaitu, algoritma yang runtime dibatasi oleh polinomial dalam jumlah variabel dan kendala dan tidak tergantung pada ukuran representasi parameter (dengan asumsi aritmatika biaya unit). Apakah menyelesaikan pertanyaan ini memiliki implikasi di luar algoritma yang lebih baik untuk pemrograman linier? Misalnya, apakah keberadaan / tidak adanya algoritma semacam itu memiliki konsekuensi untuk teori geometri atau kompleksitas?

Sunting: Mungkin saya harus mengklarifikasi apa yang saya maksud dengan konsekuensi. Saya mencari konsekuensi matematis atau hasil kondisional, implikasi yang diketahui benar sekarang . Misalnya: "algoritma polinomial untuk LP dalam model BSS akan memisahkan / meruntuhkan kelas kompleksitas aljabar FOO dan BAR", atau "jika tidak ada algoritma polinom yang kuat maka ia menyelesaikan dugaan ini-dan-itu tentang polytopes", atau "a algoritma sangat polinomial untuk masalah X yang dapat dirumuskan sebagai LP akan menarik konsekuensi bla ". Dugaan Hirsch akan menjadi contoh yang baik, kecuali bahwa itu hanya berlaku jika simpleks polinomial.

— Ian
sumber

Tak perlu dikatakan bahwa teknik pembuktian yang digunakan untuk menunjukkan hasil ini mungkin bahkan lebih menarik daripada hasil dalam hal dampak jangka panjang.

— Suresh Venkat

Jawaban:

Ini akan menunjukkan bahwa permainan paritas dan hasil-rata ada di P. See Sven Schewe. Dari Parity dan Payoff Games hingga Linear Programming. MFCS 2009.

— Rahul Savani
sumber

luar biasa. Saya berharap saya bisa memberikan ini lebih dari satu +1. ini hasil yang sangat keren.

— Suresh Venkat

Bisakah seseorang menguraikan bagaimana algoritma polinomial kuat untuk LP akan menyiratkan ini? Schewe membangun instance ukuran polinomial dari LP dengan angka dua kali lipat secara eksponensial. Baik. Sekarang kita menjalankan algoritma waktu sangat polinomial di atasnya. Tapi bukankah kita perlu mensimulasikan operasi aritmatika yang dibuat oleh algoritma ini? Bagaimana simulasi ini dilakukan tanpa menghabiskan waktu super polinomial? (ingat angkanya eksponensial dua kali lipat; saya kira orang bisa melakukan trik sisa Cina, tetapi bisakah kita melakukan perbandingan angka dengan cara ini dalam waktu polinomial?).

— slimton

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$

R

$\mathbb{R}$

Klarifikasi ke komentar saya sebelumnya: jika ada algoritma polinom sangat kuat untuk LP, maka itu polinomial dalam model BSS, dalam hal ini makalah ini menyiratkan paritas dan permainan hasil juga dalam P dalam model BSS.

— Ian

@Ian: Dengan kata lain: jawaban ini agak menyesatkan (tapi itu tidak menghentikan Anda untuk menerimanya sebagai jawaban yang valid).

— slimton

$(d n)^{Ackerman(10000)}$ ) algoritma ellipsoid misalnya, selain signifikansi teoretisnya, mengarah (?) ke pengembangan metode titik interior, yang dalam beberapa kasus lebih cepat daripada algoritma simpleks. Hal ini menyebabkan percepatan yang signifikan dalam praktik, karena kedua pendekatan diperas untuk batas maksimum dari apa yang dapat dilakukan.

— Sariel Har-Peled
sumber

Tetapi kondisi ini berlaku untuk hampir semua hasil teoritis: mungkin atau mungkin tidak berguna tergantung pada runtime, dan teknik / ide dalam hasil dapat mengarah pada kemajuan di masa depan.

— Ian

Tidak juga. Jika beberapa bentuk dugaan Hirsch benar, dan buktinya konstruktif, maka hampir pasti akan mengarah pada pemecah yang lebih cepat untuk LP. Singkatnya, jika pertanyaannya spesifik maka implikasinya jelas, dan jika pertanyaannya luas, mungkin tidak menghasilkan apa-apa. Atau dengan kata lain, satu-satunya konsekuensi pasti dari algoritma waktu polinomial untuk LP adalah bahwa kita akan memahami masalah lebih baik daripada yang kita lakukan sekarang.

— Sariel Har-Peled

Berikut adalah salah satu konsekuensi dari geometri: Batas polinom yang kuat untuk varian apa pun (acak atau deterministik) dari algoritma simpleks menyiratkan ikatan polinom pada diameter grafik polytope. Ini menyiratkan bahwa "versi polinom" dari dugaan Hirsch adalah benar.

— Siwa Kintali
sumber

tetapi tidak ada alasan untuk percaya bahwa algoritma waktu polinomial untuk piringan hitam harus melalui metode simpleks. Metode yang paling dikenal sejauh ini (subeksponensial) menggunakan strategi rekursi samping + acak.

— Suresh Venkat

Ups. Saya melewatkan intinya.

— Shiva Kintali

Ini hanya berlaku jika simpleks sangat polinomial. Saya mencari hasil yang lebih umum. Bisa jadi dugaan Hirsch polinom adalah salah tetapi algoritma lain sangat polinomial, atau dugaan Hirsch polinom adalah benar tetapi simpleks eksponensial karena tidak dapat menemukan jalur pendek dalam waktu polinomial.

— Ian

@ Suresh: Sebenarnya, saya cukup yakin strategi pengambilan sampel + rekursi acak subeksponensial yang Anda sebutkan (Clarkson-Matoušek-Sharir-Welzl / Kalai, kan?) Adalah algoritma simpleks ganda. (Tetapi ini tidak bertentangan dengan maksud Anda.)

— Jeffε

Oh tunggu. Bukankah Michael Goldwasser sudah lama melakukannya di artikel SIGACT? Hmm. sekarang saya harus pergi dan menggali.

— Suresh Venkat