Apakah kompleksitas Kolmogorov yang tidak dapat dihitung mengikuti dari Teorema Titik Tetap Lawvere?

Banyak teorema dan "paradoks" - diagonalisasi Cantor, ketidakpastian hatling, tidak dihargai kompleksitas Kolmogorov, Gödel Incompleteness, Chaitin Incompleteness, paradox Russell, dll. - semua pada dasarnya memiliki bukti yang sama dengan diagonisasi (perhatikan bahwa ini lebih spesifik daripada yang mereka dapat lakukan) semua dibuktikan dengan diagonalisasi, melainkan merasa bahwa semua teorema ini benar-benar menggunakan yang sama diagonalisasi; untuk lebih jelasnya lihat, misalnya Yanofsky , atau untuk lebih singkat dan kurang formal rekening jawaban saya untuk pertanyaan ini ).

Dalam komentar pada pertanyaan yang disebutkan di atas, Sasho Nikolov menunjukkan bahwa kebanyakan dari mereka adalah kasus khusus dari Teorema Titik Tetap Lawvere . Jika mereka semua adalah kasus khusus, maka ini akan menjadi cara yang baik untuk menangkap ide di atas: benar-benar akan ada satu hasil dengan satu bukti (Lawvere's) dari mana semua di atas diikuti sebagai akibat wajar langsung.

Sekarang, untuk Ketidaklengkapan Gödel dan ketidakpastian masalah penghentian dan teman-teman mereka, diketahui bahwa mereka mengikuti dari Teorema Titik Tetap Lawvere (lihat, misalnya, di sini , di sini atau di Yanofsky ). Tapi saya tidak segera melihat bagaimana melakukan itu untuk ketidakpastian kompleksitas Kolmogorov, meskipun fakta bahwa bukti yang mendasarinya entah bagaimana "sama." Begitu:

Apakah kompleksitas Kolmogorov yang tidak dapat dipastikan merupakan konsekuensi wajar yang cepat - yang tidak memerlukan diagonalisasi tambahan - dari Teorema Titik Tetap Lawvere?

— Joshua Grochow
sumber

Saya harus mengatakan bahwa semua yang saya tahu tentang topik ini saya pelajari dari posting blog ini oleh Andrej Bauer: math.andrej.com/2007/04/08/on-a-proof-of-cantors-theorem

— Sasho Nikolov

@MaxNew: Misalkan

menjadi fungsi dihitung, dihitung oleh beberapa TM

. Mari

menjadi TM berikut: input kosong, mulai akan melalui string satu per satu sampai menemukan sebuah

dengan

dan output

. Perhatikan bahwa

untuk beberapa

hanya bergantung pada

. Lalu untuk apa pun

itu

f

$f$

M

$M$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

x

$x$

| M_{k} | \leq \log_{2} (k) + c

$|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c

$c$

| M |

$|M|$

k

$k$

(setiap

cukup besarakan dilakukan), baik tidak ada

seperti itu(dalam hal ini

) atau

menghasilkan beberapa

sedemikian rupa sehingga

(oleh konstruksi), tetapi fakta bahwa

keluaran

menyiratkan bahwa

, jadi

k > | M_{k} |

$k > |M_k|$

k

$k$

x

$x$

f \neq C

$f \neq C$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

C (x) \leq | M_{k} | < k

$C(x) \leq |M_k| < k$

f (x) \neq C (x)

$f(x) \neq C(x)$

— Joshua Grochow

@NealYoung: Mirip, tetapi itu tidak cukup menjawab pertanyaan saya. Mengurangi dari masalah penghentian adalah mengambil HALT menjadi "sumber" ketidakkomputasi dan kemudian menggunakan reduksi. Tetapi (misalnya) bukti yang saya berikan dalam komentar di atas menunjukkan bahwa Anda juga dapat menggunakan kompleksitas-K sebagai "sumber ketidakterkomputasi," tetapi dengan bukti yang sangat mirip dengan itu untuk HALT. Dapatkah bukti yang serupa itu benar-benar terbukti sama dalam arti teknis? (Dalam hal ini, dengan menunjukkan bahwa mereka semua adalah contoh dari Teorema Lawvere, yang menurut saya lebih kuat daripada banyak jenis reduksi.) Itulah yang saya cari.

— Joshua Grochow

@NealYoung: Ya, itu menggeneralisasi teorema titik tetap Roger. Tetapi jika Anda hanya menganggapnya sebagai Teorema Roger, Anda akan kehilangan intinya; intinya adalah bahwa Lawvere cukup umum untuk menangkap strategi pembuktian dari banyak bukti yang berbeda, lebih dari itu dalam Roger. Makalah Yonofsky terkait dalam pertanyaan ini dimaksudkan untuk menjadi eksposisi "bebas kategori" dari Teorema Lawvere, ramah kepada orang-orang yang teori kategori Lawvere mungkin mengintimidasi.

— Joshua Grochow

Lihat juga cstheory.stackexchange.com/a/2830

— András Salamon

EDIT: Menambahkan peringatan bahwa teorema titik tetap Roger mungkin bukan kasus khusus Lawvere.

Berikut adalah bukti yang mungkin "dekat" ... Ini menggunakan teorema titik tetap Roger bukan teorema Lawvere. (Lihat bagian komentar di bawah untuk diskusi lebih lanjut.)

Misalkan menjadi kompleksitas Kolmogorov dari string . $K(x)$ $x$

lemma . tidak dapat dihitung $K$ .

Bukti .

Misalkan untuk kontradiksi bahwa dapat dihitung. $K$
Tentukan sebagai panjang penyandian minimum dari setiap Mesin Turing dengan . $K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$
Ada konstanta sedemikian rupa sehingga untuk semua string . $c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ $x$
Mendefinisikan fungsi sehingga mana sehingga adalah minimum tali sehingga $f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ $x$ . $K(x) > |\langle M\rangle| + c$
Sejak $K$ dapat dihitung, maka . $f$
Dengan fixed-point Teorema Roger , memiliki titik tetap, yaitu, terdapat Turing Machine sehingga di mana $f$ $M_0$ $L(M_0) = L(M_0')$ . $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$
Dengan definisi pada baris 4, kita memiliki sedemikian rupa sehingga . $f$ $L(M_0) = \{x\}$ $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$
Baris 3 dan 7 menyiratkan . $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$
Tetapi dengan definisi pada baris 2, , bertentangan dengan baris 8. $K'$ $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$

— Neal Young
sumber

Sejauh yang saya tahu teorema titik tetap Roger bukan merupakan contoh teorema titik tetap Lawvere. Ini adalah varian, karena dalam topos efektif berbunyi sebagai berikut: jika

adalah surlsi yang dievaluasi secara bernilai maka

memiliki properti titik tetap. (Teorema Lawvere dalam topos efektif adalah: jika

adalah sebuah surjection maka

memiliki properti titik tetap.)

f : N ⇉ A^{N}

$f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$

A

$A$

f : B \to A^{B}

$f : B \to A^B$

A

$A$

— Andrej Bauer

Di atas nilai gaji saya, @AndrejBauer - Saya tidak tahu teori kategori. Sudah mencoba membaca ini dan jawaban Anda di sini . Masih belum mengerti. Dapatkah Anda memberi tahu saya, dalam komentar Anda di atas, untuk teorema Rogers, apa yang Anda ambil untuk fungsi

(dengan tipe

), dan apa itu

? Atau mungkin menyarankan tutorial yang sesuai?

f

$f$

f : N \vec{\to} A^{N}

$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$

A

$A$

— Neal Young

Slide 45 dan 46 di math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (kabar baiknya adalah sekarang saya memiliki rencana yang pasti dan tenggat waktu untuk menulis makalah yang luas tentang komputabilitas sintetis ).

— Andrej Bauer