Kisi-

37

Pembaruan : Perangkat penghalang (yaitu "penghalang" NxM antara ukuran kotak yang dapat diwarnai dan yang tidak dapat diwarnai) untuk semua pewarnaan-empat-bebas-persegi monokromatik sekarang dikenal .

Adakah yang mau mencoba 5 warna? ;)

Pertanyaan berikut muncul dari Ramsey Theory .

Pertimbangkan -coloring dari -by- grafik jaringan. A ada setiap kali empat sel dengan warna yang sama disusun sebagai sudut beberapa persegi panjang. Misalnya, dan membentuk persegi panjang monokromatik jika mereka memiliki warna yang sama. Demikian pula, $k$ $n$ $m$ monochromatic rectangle $(0,0), (0,1), (1,1),$ $(1,0)$ dan membentuk persegi panjang monokromatik, jika diwarnai dengan warna yang sama. $(2,2), (2,6), (3,6),$ $(3,2)$

Pertanyaan : Apakah ada grafik warna dari grafik -by- yang tidak mengandung persegi panjang monokromatik? Jika demikian, berikan pewarnaan eksplisit. $4$ $17$ $17$

Beberapa fakta yang diketahui:

-by- adalah -colorable tanpa persegi panjang monokromatik, tapi skema mewarnai dikenal tidak muncul untuk memperpanjang ke -by- kasus. (Saya menghilangkan dikenal -by- pewarnaan karena akan sangat mungkin menjadi herring merah untuk memutuskan -by- .) $16$ $17$ $4$ $17$ $17$ $16$ $17$ $17$ $17$
-by- adalahTIDAK -colorable tanpa persegi panjang monokromatik. $18$ $19$ $4$
-dengan dan -dengan juga merupakan kasus yang tidak diketahui; jawaban untuk ini juga akan menarik. $17$ $18$ $18$ $18$

Penafian: Bill Gasarch memiliki hadiah $ 289 (USD) untuk jawaban positif atas pertanyaan ini; Anda dapat menghubunginya melalui blog-nya. Catatan tentang etiket: Saya akan memastikan dia tahu sumber jawaban yang benar (jika ada yang muncul).

Dia mengangkatnya lagi selama sesi pantat di Barriers II, dan saya menemukan itu menarik, jadi saya meneruskan pertanyaan di sini (tanpa sepengetahuannya; meskipun saya sangat ragu dia akan keberatan).

— Daniel Apon
sumber

11

Hanya ingin menambahkan beberapa referensi / petunjuk: selain dari posting blog [1,2], pembaruan di blog bit-player [3,4] terperinci dan berwawasan luas. Telah ada diskusi besar tentang semua posting ini. [1]: blog.computationalcomplexity.org/2009/11/… [2]: blog.computationalcomplexity.org/2009/12/… [3]: bit-player.org/2009/the-17x17-challenge [4] : bit-player.org/2009/17-x-17-a-nonprogress-report Catatan: Tidak ada format penurunan harga dalam komentar? Bagaimana saya bisa membuat tautan yang cantik?

— Neeldhara

Itulah beberapa tautan hebat. Neeldhara terima kasih! :)

— Daniel Apon

Demikian juga, terima kasih telah memposting ini di sini - saya mengikuti perkembangan ini selama beberapa waktu, dan ini seharusnya membangkitkan minat pada masalah!

— Neeldhara

2

@Moron: Ya, Anda hanya perlu mempertimbangkan segi empat yang sisi-sisinya sejajar dengan sumbu. BTW, ada juga sudut teori kompleksitas untuk ini: Bill berspekulasi bahwa diberi pewarnaan k-parsial dari kisi-kisi n, yang menentukan apakah pewarnaan yang dapat diselesaikan dengan cara bebas-persegi panjang adalah NP-complete.

— Kurt

2

Kelompok automorfisme masalahnya besar:

simetri pengawet solusi, menghitung swap baris-kolom, permutasi warna, permutasi baris, dan permutasi kolom. Apakah itu diketahui berapa banyak yang berbeda persegi panjang bebas subset ada ukuran

?

2 \times 4! \times (17!)^{2} = 6.1 \times 10^{30}

$2\times 4! \times(17!)^2=6.1\times 10^{30}$

71, 72, 73, . . .

$71,72,73,...$

— mjqxxxx

23

Beberapa dari Anda mungkin menyadari hal ini, tetapi masalah pewarnaan 17 x 17 telah diselesaikan oleh Bernd Steinbach dan Christian Posthoff. Lihat posting blog Gasarch di sini .

— Lev Reyzin
sumber

8

Juga kisi 18x18 berwarna 4-warna tanpa persegi panjang monokromatik ... sekarang, satu-satunya "ubin yang hilang" adalah kisi 21x12

— Marzio De Biasi

13

Ini sebenarnya bukan jawaban untuk pertanyaan, tetapi saya telah meng-encode masalah 17x17 4-warna sebagai 4-CNF (dalam format DIMACS standar untuk SAT-solver) dan mengunggahnya di sini . Jika ada yang memiliki akses ke pemecah SAT yang baik (dan superkomputer!) Mungkin kita dapat membuat beberapa kemajuan.

Catatan: dalam pengkodean saya, jika GridPoint ditugaskan warna , maka variabel mengambil nilai , dan jika tidak . $(i,j)$ $c \in \{0,1,2,3\}$ $(17i+j+289c+1)$ $1$ $0$

— Lev Reyzin
sumber

3

Luar biasa. (Saya memang memiliki akses ke superkomputer.) Langkah berikutnya adalah angka berjalan untuk memperkirakan runtime benda ini pada mesin tertentu. Siapa yang tahu apakah ini masuk akal, tapi ini pendekatan yang berbeda yang pernah saya lihat. Sekarang, saatnya mencari pertanyaan baru tentang SAT-solver agar saya dapat membaca ... :)

— Daniel Apon

Ternyata masalah yang saya pikirkan adalah pada #SAT, jadi saya telah memulai pertanyaan baru tentang pemecah SAT di cstheory.stackexchange.com/questions/1719/…

— Daniel Apon

Hebat - beri tahu saya bagaimana kelanjutannya!

— Lev Reyzin

4

@ Leev, hanya pembaruan acak: tampaknya runtime 17x17, bahkan menggunakan komputer super terbaik dan pemecah SAT yang sangat cepat, masih astronomi. Sisi positifnya: ia muncul dalam bidang alasan untuk menyerang ini dengan superkomputer dengan cara yang ditargetkan, yaitu menemukan parsial 1-pewarnaan yang tepat yang akan bekerja (sudah dilakukan dengan tangan oleh Beth Kupkin di Rutgers), kemudian menemukan parsial yang tepat 2 -warna yang akan bekerja dari itu, dll. Sisi bawah: tidak ada "solusi cepat"; itu akan menjadi proyek jangka panjang dengan beberapa tahap eksekusi superkomputer

— Daniel Apon

1

@ Jo, bagaimanapun! Berikut ini adalah "leaderboard" dari pewarnaan perkiraan terbaik saat ini: Leaderboard - Tampaknya proses annealing yang disimulasikan cukup baik untuk menemukan perkiraan pewarnaan.

— Daniel Apon

4

Ini juga bukan jawaban nyata. Tentu saja masalah di sini adalah adanya sejumlah simetri astronomi, yang menipu bahkan pemecah SAT terbaik pada superkomputer terbaik. Simetri memetakan solusi untuk solusi dan non-solusi untuk non-solusi: dalam hal ini mungkin ada sejumlah besar hampir solusi (yaitu penugasan memenuhi semua kecuali sejumlah kecil klausa), yang masing-masing dapat diperoleh oleh yang lain menerapkan simetri yang tepat. Oleh karena itu pemecah limbah menghabiskan banyak waktu untuk mencoba masing-masing dari hampir solusi ini, sementara dalam arti tertentu mereka semua sama.

Mengeksploitasi simetri (lihat makalah ini ) harus menjadi jalan untuk mengeksplorasi untuk menyerang contoh sulit 17x17 ini dan membuat beberapa kemajuan di atasnya. Saya bertanya-tanya apakah ada yang sudah mencoba melakukannya.

— Giorgio Camerani
sumber

Hei, itu sangat manis! :) Belum pernah melihatnya sebelumnya.

— Daniel Apon

@Aniel: Sama-sama! ;-) Semoga ini bisa membantu.

— Giorgio Camerani

Saya menggunakan program "Pecah" Aloul pada beberapa pengkodean masalah 17x17 dan menempatkan beberapa minggu CPU ke dalam beberapa pemecah SAT yang berbeda dan tidak beruntung. Kertas yang direferensikan Walter sebenarnya adalah yang pertama dari mungkin selusin atau sesuatu yang dia tulis tentang masalah itu, jadi mungkin ada sesuatu di sana yang akan melakukan pekerjaan itu, tetapi itu bukan buah yang rendah.

— Jay Kominek

3

Sekali lagi, bukan jawaban yang nyata, tetapi bagaimanapun, berikut adalah beberapa pemikiran untuk mengadopsi algoritma pewarnaan grafik untuk masalah ini.

Mari kita mengatakan bahwa satu set dari posisi grid set independen jika set tidak mengandung keempat penjuru beberapa persegi panjang. Tentukan set independen maksimal dengan cara yang jelas. Sekarang, ini adalah klaim yang setara: $I$ $I$

-by- grid dapat diwarnai dengan warna. $n$ $m$ $k$
-by- grid dapat ditutupi dengan set independen. $n$ $m$ $k$
-by- grid dapat ditutupi dengan set independen maksimal. $n$ $m$ $k$

$\log k\ \text{poly}(nm)2^{nm}$ $k^{mn}$ $2^{289}$

Jika keluarga semua set independen (maksimal) memiliki struktur yang cukup bagus, mungkin juga dapat menyempurnakan algoritma produk penutup.

— Janne H. Korhonen
sumber

Bagaimana klaim 3 setara dengan klaim 2? Set independen maksimal 17x17 adalah ukuran 74, omong-omong, seperti yang ditunjukkan dalam makalah Elizabeth Kupin (pdf) . Hanya ada satu set seperti itu, tidak menghitung permutasi dari baris dan kolom sebagai berbeda.

— Null Set

Maksud saya maksimal dalam arti bahwa tidak ada superset yang tepat adalah independen, seperti kebiasaan dalam ilmu komputer. Maksimum adalah kata yang biasanya digunakan ketika berarti "dengan ukuran sebesar mungkin".

— Janne H. Korhonen

Dalam hal itu, himpunan himpunan independen maksimal berisi semua permutasi baris / kolom dari ukuran unik 74, dan tidak ada ukuran 73 set independen, karena semuanya adalah himpunan bagian dari himpunan ukuran 74. Saya tidak yakin apa yang dimilikinya dari ukuran 67 hingga 72.

— Null Set

3

Kisi 21x12 4-warna tanpa persegi panjang monokromatik, juga !!!

Lihat posting Bernd Steinbach terakhir di blog Gasarch !

— Marzio De Biasi
sumber

-4

Ini Bill Bouris. Hai, Dan. Saya sedang mengerjakan sebuah program yang mencari matriks 17x17 yang cocok yang menunjukkan pewarnaan no-4 sesuai dengan Teori Ramsey. Saya menggunakan matriks posisional yang menggambarkan semua koneksi antara titik dan memperbaiki diagonal utama dan memungkinkan baris atas matriks untuk menjalankan semua kemungkinan kombinasi 16choose8; Saya hanya menangkap matriks yang memenuhi kriteria berikut ... no-XRRR, no-RXRR, no-RRXR, no-RRRX, no-XBBB, no-BXBB, dll., Lalu saya menyapu matriks menggunakan berikutnya kriteria terlemah ... no-XBRR, noBXRR, no-BBXR, no-BBRX, no-XRBB, no-RXBB, dll. untuk total 32 sapuan hingga komputer mengisi pewarnaan secara otomatis. Saya perhatikan ada kemungkinan kandidat per setiap 400 matriks dari total 12780, dan butuh 0,95 jam untuk menemukan kandidat atau 1 per setiap 8. 644 detik. Itu datang, tapi saya tidak punya banyak waktu untuk memprogramnya ... karena saya bekerja penuh waktu. Kita harus bekerja bersama ... Saya bisa menggunakan $ 289,00!

— William Bouris
sumber

Bill Gasarch seharusnya hanya membayar $ 128.

— William Bouris

maaf tentang itu ... 272/2 atau $ 136

— William Bouris

4

Ini bukan jawaban untuk pertanyaan itu. terbaik sebagai komentar.

— Suresh Venkat