Batas bawah untuk determinan dan permanen

Mengingat jurang baru-baru ini pada kedalaman-3 hasil (yang antara lain menghasilkan kedalaman-3 rangkaian aritmatika untuk penentu atas ), Saya memiliki pertanyaan-pertanyaan berikut: Grigoriev dan Karpinski membuktikan batas bawah untuk rangkaian aritmetika kedalaman-3 yang menghitung matriks atas matriks bidang terbatas (yang saya kira, juga berlaku untuk Permanen). Formula Ryser untuk menghitung Permanen memberikan rangkaian aritmatika kedalaman-3 dengan ukuran $2^{\sqrt{n}\log{n}}$ $n \times n$ $\mathbb{C}$ $2^{\Omega{(n)}}$ $n \times n$ $O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$ . Ini menunjukkan bahwa hasilnya pada dasarnya ketat untuk sirkuit kedalaman-3 untuk bidang Permanen dan terbatas. Saya punya dua pertanyaan:

1) Apakah ada rumus kedalaman-3 untuk penentu analog dengan rumus Ryser untuk Permanen?

2) Apakah batas bawah pada ukuran sirkuit aritmatika yang menghitung polinomial determinan \ textit {selalu} menghasilkan batas bawah untuk polinom Permanen? (Lebih dari mereka adalah polinomial yang sama). $\mathbb{F}_2$

Meskipun pertanyaan saya saat ini adalah mengenai polinomial ini di atas bidang yang terbatas, saya juga ingin mengetahui status dari pertanyaan ini di atas bidang yang arbitrer.

— Nikhil
sumber

Itu menarik .... baru-baru ini ( eccc.hpi-web.de/report/2013/026 ) a batas atas telah dibuktikan pada bilangan kompleks. Jadi ada perbedaan besar dalam karakteristik bidang nol dan terbatas ...

2^{O (n^{1 / 2} \log n})

$2^{O(n^{1/2}\log n})$

— Ryan Williams

Saya seharusnya menyebutkan hasil baru. Saya sedang membaca koran dan saya ingin tahu apa yang bisa disimpulkan dari hasil yang diketahui untuk kasus lapangan yang terbatas. Akan memperbarui pertanyaan untuk memasukkan makalah.

— Nikhil

Apakah ada yang serupa / batas bawah yang diketahui untuk determinan / permanen dalam hal rangkaian 3 kedalaman di atas bidang karakteristik nol?

— Gorav Jindal

Atas karakteristik nol, AFAIK, batas bawah terbaik adalah untuk fungsi simetris elementer (dan juga polinomial penentu) karena Shpilka dan Wigderson. Periksa cs.technion.ac.il/~shpilka/publications/…

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Nikhil

Jawaban:

Permanen selesai untuk VNP di bawah proyeksi-p atas bidang apa pun yang bukan karakteristik 2. Ini memberikan jawaban positif untuk pertanyaan kedua Anda. Jika pengurangan ini linier, itu akan memberikan jawaban positif untuk pertanyaan pertama Anda, tapi saya yakin itu tetap terbuka.

Secara lebih rinci: ada beberapa polinomial sedemikian rupa sehingga adalah proyeksi , yaitu ada substitusi tertentu yang mengirimkan setiap variabel baik ke variabel atau konstanta sehingga setelah substitusi ini permanen menghitung komputasi penentu. $q(n)$ $det_n(X)$ $perm_{q(n)}(Y)$ $y_{ij}$ $x_{k\ell}$ $q(n) \times q(n)$ $n \times n$

1) Dengan demikian rumus Ryser menghasilkan formula kedalaman 3 (kedalaman tidak meningkat di bawah proyeksi karena penggantian dapat dilakukan pada gerbang input) ukuran untuk determinan. UPDATE : Seperti yang ditunjukkan @Ramprasad dalam komentar, ini hanya memberikan sesuatu yang non-invasif jika , karena ada kedalaman 2 rumus ukuran sepele untuk det. Saya bersama Ramprasad dalam hal yang terbaik yang saya tahu adalah pengurangan melalui ABP, yang menghasilkan . $2^{O(q(n))}$ $q(n) = o(n \log n)$ $n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$ $q(n)=O(n^3)$

2) Jika permanen dapat dihitung - lagi, pada beberapa bidang karakteristik bukan 2 - oleh sirkuit ukuran , maka determinan dapat dihitung oleh sirkuit ukuran . Jadi batas bawah pada ukuran sirkuit untuk menghasilkan batas bawah pada ukuran sirkuit untuk permanen (itu terbalik , bukan ). disebutkan di atas menghasilkan a perm batas bawah dari a det batas bawah. $m \times m$ $s(m)$ $n \times n$ $s(q(n))$ $b(n)$ $det_n$ $b(q^{-1}(n))$ $q$ $1/q(n)$ $q(n)=O(n^3)$ $b(n^{1/3})$ $b(n)$

— Joshua Grochow
sumber

Hanya ingin menunjukkan bahwa determinan yang menjadi proyeksi permanen polinomially lebih besar tidak cukup banyak menghasilkan. Penentu tentu saja memiliki sepelesirkuit berukuran. Jadi, bahkan menunjukkan bahwa determinan adalah proyeksi permanen tidak menghasilkan apa pun yang non-sepele melalui rumus Ryser. Saya kira, untuk strategi pembuktian Anda, orang perlu menunjukkan bahwa , tapi saya tidak melihat cara mendapatkan ini dari pengurangan yang biasa. AFAIK, tidak ada sirkuit kedalaman-3 asimptotically lebih kecil daridikenal untuk penentu bidang terbatas.

n!

$n!$

n \times n

$n\times n$

n^{2} \times n^{2}

$n^2\times n^2$

q (n) = O (n)

$q(n) = O(n)$

n!

$n!$

— Ramprasad

@Amprasad: Ada proyeksi ke dalam kasus umum di bidang arbitrer kan? Jadi mengimplementasikan pengurangan ini di kedalaman-3 adalah rintangan - apakah itu yang Anda maksud?

D E T_{n}

$DET_n$

P E R M_{O (n)}

$PERM_{O(n)}$

— Nikhil

@Nikhil: Apakah ada proyeksi seperti itu ?! Jika itu benar, maka tentu saja kita akan segera memiliki sirkuit kedalaman -3 untuk penentu dengan hanya menggunakan rumus Ryser (yang tidak diketahui sebelum hasil jurang-di-kedalaman-3 ). Satu-satunya pengurangan yang saya tahu adalah menggunakan ABP untuk determinan (yang berukuran ) dan menuliskannya sebagai proyeksi permanen berukuran . Saya akan sangat terkejut dengan pengurangan ke holding permanen berukuran .

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n)

$O(n)$

— Ramprasad

Saya cukup yakin itu adalah salah ketik / kesalahan dalam artikel (tapi saya akan memeriksa dengan Manindra sekalipun). Avi Wigderson ini bicara (PPT) saat perayaan ulang tahun ke-60 Valiant adalah salah satu tempat di mana ia menyatakan bahwa meningkatkanuntuk kedalaman-3 kompleksitas determinan tidak diketahui. Sirkuit kedalaman-3 di atas bidang berhingga adalah contoh yang aneh di mana batas atas terbaik untuk permanen lebih kecil daripada determinan!

n!

$n!$

— Ramprasad

mari kita lanjutkan diskusi ini dalam obrolan

— Ramprasad

Sangat mungkin bahwa determinan lebih sulit daripada permanen. Keduanya polinomial, Peringkat Waring (jumlah n kekuatan bentuk linear) dari permanen adalah sekitar 4 ^ n, Chow Rank (jumlah produk bentuk linear) kira-kira 2 ^ n. Jelas, Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Chow Rank. Untuk penentu, angka-angka itu hanya batas bawah. Di sisi lain, saya membuktikan beberapa waktu yang lalu bahwa peringkat War dari penentu dibatasi oleh (n +1)! dan ini mungkin mendekati kebenaran.

— Leonid Gurvits
sumber

Saya menghapus iklan.

— Jeffε

Bisakah Anda memberikan referensi untuk buktinya?

— Kaveh